maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Recurrences and generating functions

Recurrences and generating functions

Solving recurrence relations, and encoding a sequence as a power series.

A recurrence defines aₙ from earlier terms; a generating function Σ aₙ xⁿ packs the whole sequence into one function whose algebra does the counting. Picture it: the Fibonacci numbers growing by the golden ratio each step. Think it: linear recurrences with constant coefficients are solved exactly like constant-coefficient differential equations, a characteristic polynomial.

Жұмыстағы мысал · fib(25)

Number-Theory · Sequences

Fib(25)

25

Қадам сайын

  1. F_0 = 0,; F_1 = 1

    Each Fibonacci number is the sum of the two before it.

  2. F_{2} = F_{1} + F_{0} = 1

  3. F_{3} = F_{2} + F_{1} = 2

  4. F_{4} = F_{3} + F_{2} = 3

  5. F_{5} = F_{4} + F_{3} = 5

  6. F_{6} = F_{5} + F_{4} = 8

  7. F_{7} = F_{6} + F_{5} = 13

  8. F_{8} = F_{7} + F_{6} = 21

  9. \vdots

  10. F_{24} = F_{23} + F_{22} = 46368

  11. F_{25} = F_{24} + F_{23} = 75025

Жауап беріңіз
F_{25} = 75025

Енді сен Мәтінді таңдап, жазу немесе өзіңіздің мәтініңізді салу. Әрбір қадамы сурет, сұрағанша жауап жасырылады.

Өзіңіздің жұмысыңызды жалғастыру

Тіркелгіңізде әрбір сабақта жазбалар, орындалған тапсырмалар, шешілген тапсырмалар бір жерде сақталады, және мұғалімге осы бет туралы сұрақ қоюға болады. Математикалық сабақтар жүйеге кірген немесе кірмеген кез келген адамға ашық.

Жазылу Кіру

Мұнда қолданылатын символдар

Тұтас анықтамасын, суретін және әрбір әріптің мағынасын көру үшін кез келген символды түртіңіз.

Не істеу керек: Recurrences and generating functions

  1. Each Fibonacci number is the sum of the two before it.

Адамдар қоятын сұрақтар

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Келесіде Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs