maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

Жұмыстағы мысал · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Қадам сайын

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Жауап беріңіз
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Енді сен Мәтінді таңдап, жазу немесе өзіңіздің мәтініңізді салу. Әрбір қадамы сурет, сұрағанша жауап жасырылады.

Өзіңіздің жұмысыңызды жалғастыру

Тіркелгіңізде әрбір сабақта жазбалар, орындалған тапсырмалар, шешілген тапсырмалар бір жерде сақталады, және мұғалімге осы бет туралы сұрақ қоюға болады. Математикалық сабақтар жүйеге кірген немесе кірмеген кез келген адамға ашық.

Жазылу Кіру

Мұнда қолданылатын символдар

Тұтас анықтамасын, суретін және әрбір әріптің мағынасын көру үшін кез келген символды түртіңіз.

Не істеу керек: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Адамдар қоятын сұрақтар

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Келесіде Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs