maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Pigeonhole principle and inclusion, exclusion

Pigeonhole principle and inclusion, exclusion

Two counting ideas that prove things without listing anything.

Pigeonhole: more pigeons than holes means some hole holds two. Inclusion, exclusion: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, and the alternating sum continues for more sets. Picture it: a Venn diagram; the overlap is what you counted twice. Think it: inclusion, exclusion is the Möbius function of the subset lattice.

Fungerat exempel · {1,2,3,4} union {3,4,5,6}

Set-Theory · Sets

{1,2,3,4} union {3,4,5,6}

Steg för steg

  1. A = \left\{1, 2, 3, 4\right\},\quad B = \left\{3, 4, 5, 6\right\}

    The two sets.

  2. A \cup B = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}

    Keep everything in either set.

  3. |A| = 4,\ |B| = 4,\ |A \cup B| = 6

    Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Avslöja svaret
A \cup B = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}

Nu är det din tur. Välj ett problem, skriv eller rita ditt eget. Varje steg, en bild, svaret dolt tills du frågar.

Fortsätt jobba.

Ett gratis konto lägger till anteckningar om varje lektion, en förteckning över vad du har avslutat, dina lösta problem på ett ställe, och en handledare du kan fråga om denna sida. Matematiken i sig är öppen för alla, inloggad eller inte.

Registrera dig Inloggning

Symboler som används här

Knacka på alla symboler för den fullständiga definitionen, en bild, och vad varje bokstav i den betyder.

Hur man: Pigeonhole principle and inclusion, exclusion

  1. The two sets.
  2. Keep everything in either set.
  3. Cardinalities. Note |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.

Frågor folk frågar

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Mer information Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs