Let S = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} be a set of vectors in a vector space V.
Linear Independence
Let \(S = \{v_1, v_2, \ldots,
v_n\}\) be a set of vectors in a vector space \(V\).
If there exist scalars \(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \in F\) such that not all of the \(\alpha_i\)'s are zero and
\[\begin{aligned}\end{aligned}\],
then \(S\) is said to be linearly dependent.
If the set \(S\) is not linearly dependent,
then it is said to be linearly independent.
More specifically, \(S\) is a linearly independent set if
\[\begin{aligned}\end{aligned}\]
implies that
\[\begin{aligned}\end{aligned}\]
for any set of scalars \(\{ \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \}\).
The definition of linear dependence makes more sense if we consider the following proposition.
The following proposition is a consequence of the fact that any system of homogeneous linear equations with more unknowns than equations will have a nontrivial solution.
We leave the details of the proof for the end-of-chapter exercises.
A set \(\{ e_1, e_2, \ldots,
e_n \}\) of vectors in a vector space \(V\) is called a
basis for \(V\) if
\(\{ e_1, e_2, \ldots,
e_n \}\) is a linearly independent set that spans \(V\).
Now you
Không máy tính nào có thể tính toán được nó, nhưng các mảnh của nó có thể tính toán được. Thử một trong những cách dưới đây, hoặc gõ theo ý bạn.
Để cho anh làm việc
Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.
Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.
Mỗi phần có ý nghĩa gì
Hãy tưởng tượng đi.
Đáng biết
Ví dụ
Cũng được dùng trong lời giải thích đó
Câu hỏi người ta hỏi
What is a group, in plain words?
A set with one operation that is associative, has an identity, and lets every element be undone. Symmetries of any object form a group. That is where the idea came from.
What is the difference between a ring and a field?
A ring has addition and multiplication that behave like the integers (you cannot always divide); a field is a ring where every non-zero element has a reciprocal, like the rationals or the reals.