maths.free › Abstract Algebra › Rings › An Application to Software Design

An Application to Software Design

The Chinese Remainder Theorem is a result from elementary number theory about the solution of systems of simultaneous congruences. The Chinese mathematician Sun-tsï wrote about the theorem in the first century A.D. This theorem has some interesting consequences in the design of software for parallel processors.

Lemma

Let \(m\) and \(n\) be positive integers such that \(\gcd( m, n) = 1\). Then for \(a, b \in {\mathbb Z}\) the system \[\begin{aligned}x & \equiv a \pmod{m} \\ x & \equiv b \pmod{n}\end{aligned}\] has a solution. If \(x_1\) and \(x_2\) are two solutions of the system, then \(x_1 \equiv x_2 \pmod{mn}\).

Proof

The equation \(x \equiv a \pmod{m}\) has a solution since \(a + km\) satisfies the equation for all \(k \in {\mathbb Z}\). We must show that there exists an integer \(k_1\) such that \[\begin{aligned}\end{aligned}\]. This is equivalent to showing that \[\begin{aligned}\end{aligned}\] has a solution for \(k_1\). Since \(m\) and \(n\) are relatively prime, there exist integers \(s\) and \(t\) such that \(ms + nt = 1\). Consequently, \[\begin{aligned}\end{aligned}\], or \[\begin{aligned}\end{aligned}\]. Now let \(k_1 = (b-a)s\).

To show that any two solutions are congruent modulo \(mn\), let \(c_1\) and \(c_2\) be two solutions of the system. That is, \[\begin{aligned}c_i & \equiv a \pmod{m} \\ c_i & \equiv b \pmod{n}\end{aligned}\] for \(i = 1, 2\). Then \[\begin{aligned}c_2 & \equiv c_1 \pmod{m} \\ c_2 & \equiv c_1 \pmod{n}\end{aligned}\]. Therefore, both \(m\) and \(n\) divide \(c_1 - c_2\). Consequently, \(c_2 \equiv c_1 \pmod{mn}\).

Example

Let us solve the system \[\begin{aligned}x & \equiv 3 \pmod{4} \\ x & \equiv 4 \pmod{5}\end{aligned}\]. Using the Euclidean algorithm, we can find integers \(s\) and \(t\) such that \(4s + 5t = 1\). Two such integers are \(s = 4\) and \(t = -3\). Consequently, \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

Special software is required for calculations involving larger integers which cannot be added directly by the machine. By using the Chinese Remainder Theorem we can break down large integer additions and multiplications into calculations that the computer can handle directly. This is especially useful on parallel processing computers which have the ability to run several programs concurrently.

Condensed: the full section is in Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications.

Now you Không máy tính nào có thể tính toán được nó, nhưng các mảnh của nó có thể tính toán được. Thử một trong những cách dưới đây, hoặc gõ theo ý bạn.

Để cho anh làm việc

Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.

Đăng ký Đăng nhập

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Câu hỏi người ta hỏi

What is a group, in plain words?

A set with one operation that is associative, has an identity, and lets every element be undone. Symmetries of any object form a group. That is where the idea came from.

What is the difference between a ring and a field?

A ring has addition and multiplication that behave like the integers (you cannot always divide); a field is a ring where every non-zero element has a reciprocal, like the rationals or the reals.

Một số phần của trang này được chuyển từ Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications (GFDL 1.3). Được nén lại và giải thích lại ở đây; lỗi là của chúng tôi.

More in Abstract Algebra

Groups Subgroups, cosets and Lagrange's theorem Cyclic groups and permutation groups Homomorphisms, normal subgroups and quotient groups Rings and fields Galois theory: why the quintic has no formula