maths.free › Linear Algebra › Eigenvalues and eigenvectors

Eigenvalues and eigenvectors

The characteristic polynomial and the directions a matrix only stretches.

An eigenvector is a direction a matrix does not rotate, only stretches by its eigenvalue. Find eigenvalues as roots of det(A − λI), then eigenvectors by solving (A − λI)v = 0. In the 3D view the eigenvectors are drawn on the transformed cube.

ਕੰਮ ਉਦਾਹਰਨ · eigenvalues of [[2,1],[1,2]]

Linear-Algebra · Eigenvalues

Eigenvalues of [[2,1],[1,2]]

\left[\begin{matrix}2 & 1\\1 & 2\end{matrix}\right]

ਕਦਮ ਦਰ ਕਦਮ

  1. \det(A - \lambda I) = 0

    Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.

  2. \det\left[\begin{matrix}2 - \lambda & 1\\1 & 2 - \lambda\end{matrix}\right] = 0

    Subtract λ from the diagonal.

  3. \lambda^{2} - 4 \lambda + 3 = 0

    Expand the determinant.

  4. \left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) = 0

    Factor.

  5. \lambda = 3, \lambda = 1

    Eigenvalues (with multiplicity).

  6. \lambda = 1:\ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right]

    Solve (A − 1I)v = 0 for a basis eigenvector.

  7. \lambda = 3:\ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]

    Solve (A − 3I)v = 0 for a basis eigenvector.

ਜਵਾਬ ਦਿਓ
\lambda = 3,\; \lambda = 1

ਹੁਣ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਚੁਣੋ, ਜਾਂ ਆਪਣਾ ਆਪ ਲਿਖੋ ਜਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਹਰ ਕਦਮ, ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ, ਜਵਾਬ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਪੁੱਛਦੇ ਹੋ, ਲੁਕਿਆ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਆਪਣੇ ਆਪ ਕੰਮ ਕਰੋ

ਮੁਫਤ ਅਕਾਊਂਟ ਹਰੇਕ ਲੈਕਚਰ ਉੱਤੇ ਨੋਟਿਸ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ, ਤੁਹਾਡੇ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਇੱਕ ਥਾਂ ਤੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਟੂਟੋਰਿਅਲ, ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਫ਼ੇ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ । ਗਣਿਤ ਆਪ ਹੀ ਹਰੇਕ ਲਈ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਹੈ, ਲਾਗਇਨ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ ਹੋਵੇ ।

ਸਾਈਨ ਅੱਪ ਲਾਗਇਨ

ਇੱਥੇ ਵਰਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨੂੰ ਦਬਾਉ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਅਤੇ ਹਰ ਅੱਖਰ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ।

ਕਿਵੇਂ: Eigenvalues and eigenvectors

  1. Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.
  2. Subtract λ from the diagonal.
  3. Expand the determinant.
  4. Factor.
  5. Eigenvalues (with multiplicity).
  6. Solve (A − 1I)v = 0 for a basis eigenvector.
  7. Solve (A − 3I)v = 0 for a basis eigenvector.

ਲੋਕ ਪੁੱਛਦੇ ਹਨ

What does a determinant mean geometrically?

It is the factor by which the matrix scales area (2×2) or volume (3×3), with a negative sign if orientation flips. Zero means the matrix flattens space and cannot be undone.

What is an eigenvector?

A direction the matrix does not turn: it only stretches it by the eigenvalue. Along eigenvectors a complicated matrix acts like multiplication by a number.

Why is matrix multiplication not commutative?

Because a matrix is a transformation and AB means "do B, then A". Rotating then reflecting is not the same as reflecting then rotating.

ਹੋਰ ਵਿੱਚ Linear Algebra

DeterminantsMatrix inverseMatrix multiplicationRow reductionVector spaces, span and linear independenceOrthogonality, projections and least squaresDiagonalisation and matrix powersLinear transformations and change of basis