maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Paths, cycles, trees, Euler and Hamilton

Paths, cycles, trees, Euler and Hamilton

Connectivity, spanning trees, Euler circuits and the bridges of Königsberg.

A tree is a connected graph with no cycles: n vertices, n − 1 edges. Euler proved a graph has a circuit using every edge once exactly when every degree is even. The Königsberg bridges failed. Picture it: the seven bridges; four land masses with odd degree. Think it: Euler's condition is local (degrees) yet decides a global question, the first theorem of topology.

Voorbeeld van werk · 5 choose 2

Discrete-Math · Counting

5 choose 2

5,\ 2

Stap voor stap

  1. \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!}

    Unordered selections: n! / (k! (n−k)!).

  2. = \frac{120}{2 \times 6} = 10

Onthul het antwoord
\binom{5}{2} = 10

Nu jij. Kies een probleem, type of teken je eigen. Elke stap, een foto, het antwoord verborgen totdat je het vraagt.

Blijf jezelf aan het werk

Een gratis account voegt notities toe bij elke les, een record van wat je klaar bent, je problemen opgelost op één plaats, en een leraar die je kunt vragen over deze pagina. De wiskunde zelf is open voor iedereen, ingelogd of niet.

Aanmelden Aanmelden

Hier gebruikte symbolen

Tik op elk symbool voor de volledige definitie, een afbeelding en wat elke letter erin betekent.

Hoe: Paths, cycles, trees, Euler and Hamilton

  1. Unordered selections: n! / (k! (n−k)!).

Vragen die mensen stellen

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Meer in Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesColouring and planar graphs