The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Nu jij. Geen rekenmachine regelt deze, maar de stukken ervan zijn berekenbaar. Probeer er een hieronder, of typ je eigen.

⌨ Type ✎ Teken het

Je wiskunde probleem

π Los op

Praktijk (1)

Probeer ze eerst op papier. Onthul het antwoord om te controleren; geverifieerde kunnen worden geopend in de oplossing voor elke stap.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Werk er doorheen. Hint

Blijf jezelf aan het werk

Een gratis account voegt notities toe bij elke les, een record van wat je klaar bent, je problemen opgelost op één plaats, en een leraar die je kunt vragen over deze pagina. De wiskunde zelf is open voor iedereen, ingelogd of niet.

Aanmelden Aanmelden

Hier gebruikte symbolen

Tik op elk symbool voor de volledige definitie, een afbeelding en wat elke letter erin betekent.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Vragen die mensen stellen

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Delen van deze pagina zijn aangepast van Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Gecondenseerd en opnieuw verklaard, fouten zijn van ons.

Meer in Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs