The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Ҳоло шумо Ҳеҷ ҳисобкунак инро ҳал намекунад, лекин қисмҳои он ҳисобшавандаанд. Яке аз инҳоро дар поён санҷед ё худи худро ворид кунед.

⌨ & Навъ ✎ Кашидан

Масъалаи математикии шумо

π & Ҷудо кардан

Машқ (1)

Ҳар як саволро аввал дар коғаз санҷед. Ҷавобро барои санҷиш нишон диҳед; ҷавобҳои санҷидашударо дар ҳалкунанда барои ҳар қадам кушода метавонед.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Кор кардан Маслиҳат

Кор кардан

Дар ҳисоби ройгон ба ҳар як дарс қайдҳо илова карда мешаванд, қайди он, ки шумо чӣ кор кардаед, масъалаҳои ҳалшуда дар як ҷо ва муаллиме, ки шумо метавонед дар бораи ин саҳифа пурсед. Математика барои ҳама кушода аст, хоҳ ворид шуда бошад ё на.

Бақайдгирӣ Ворид шудан

Символы, используемые здесь

Барои муайянкунии пурраи маъно, тасвир ва маънои ҳар як ҳарф дар он, ба ҳар як аломат пахш кунед.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Саволҳои маъмул

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Қисми ин саҳифа аз Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Дар ин ҷо барои мо чизе нест, ки мо ба он бирасем.

& Иловаи забон Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs