maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

Намунаи коркардашуда · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Қадами ба қадам

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Ҷавоби ҷавобро нишон диҳед
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Ҳоло шумо Масъаларо интихоб кунед, ё ки онро навишта ё кашед. Ҳар қадам, тасвир, ҷавоб то он даме, ки шумо пурсед, пинҳон мешавад.

Кор кардан

Дар ҳисоби ройгон ба ҳар як дарс қайдҳо илова карда мешаванд, қайди он, ки шумо чӣ кор кардаед, масъалаҳои ҳалшуда дар як ҷо ва муаллиме, ки шумо метавонед дар бораи ин саҳифа пурсед. Математика барои ҳама кушода аст, хоҳ ворид шуда бошад ё на.

Бақайдгирӣ Ворид шудан

Символы, используемые здесь

Барои муайянкунии пурраи маъно, тасвир ва маънои ҳар як ҳарф дар он, ба ҳар як аломат пахш кунед.

Чӣ тавр: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Саволҳои маъмул

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

& Иловаи забон Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs