The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

ఇప్పుడుమీరు ఏ గణనపరికరం ఈ వర్తిస్తుంది, కానీ దానిలోని భాగాలు పోబుల్ చేయదగినవి. క్రింద ఒకటి ప్రయత్నించండి లేదా మీ స్వంత టైపు చేయండి.

⌨ రకము ✎ అది గీయండి

మీ గణిత సమస్య

π పరిష్కరించు

(P) ఉద్భవింపచేయుము (1)

Try each one on paper first. Reveal the answer to check; verified ones can be opened in the solver for every step.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   దీనిద్వారా పనిచేయుము సూచన

మీ సొంత పని ఉంచుకోండి

మీరు ఏ పాఠం నేర్చుకున్నారో, ఆ విషయం గురించి ఒక రిపోర్టులో మీరు తీసుకున్న సమస్యలను, మీ సమస్యలను ఒక స్థలంలో పరిష్కరించిన సమస్యలను, మీరు ఈ పేజీ గురించి అడగవచ్చు.

నమోదు చేసుకోండి ప్రవేశించు

ఇక్కడ వుపయోగించిన చిహ్నాలు

మొదటి శతాబ్దంలోని క్రైస్తవులు కూడా అదే విధంగా భావించారు.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

ప్రశ్నలు

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ఈ పేజీలోని భాగాలు సవరింపుగా ఉన్నాయి Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). ఇక్కడ సమీకరించబడి మరియు తిరిగి ఉద్భవింపచేయబడిన తప్పులు మావి.

ఇంకా Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs