maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Partially Ordered Sets › Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Let \PXP be a partially ordered set. A linear order L on X is called a linear extension (also, a topological sort) of P, if x\lt y in L whenever x\lt y in P.

Linear Extensions of Partially Ordered Sets

Let \(\PXP\) be a partially ordered set. A linear order \(L\) on \(X\) is called a linear extension (also, a topological sort) of \(P\), if \(x\lt y\) in \(L\) whenever \(x\lt y\) in \(P\). For example, the table displayed in shows that our familiar example \(\bfP_3\) has11 linear extensions.

The classical sorting problem studied in all elementary computer science courses is to determine an unknown linear order \(L\) of a set \(X\) by asking a series of questions of the form: Is \(x\lt y\) in \(L\)? All the well known sorting algorithms (bubble sort, merge sort, quick sort, ) proceed in this manner.

Here is an important special case: determine an unknown linear extension \(L\) of a poset \(\bfP\) by asking a series of questions of the form: Is \(x \lt y\) in \(L\)?

ఇప్పుడుమీరు ఏ గణనపరికరం ఈ వర్తిస్తుంది, కానీ దానిలోని భాగాలు పోబుల్ చేయదగినవి. క్రింద ఒకటి ప్రయత్నించండి లేదా మీ స్వంత టైపు చేయండి.

మీ సొంత పని ఉంచుకోండి

మీరు ఏ పాఠం నేర్చుకున్నారో, ఆ విషయం గురించి ఒక రిపోర్టులో మీరు తీసుకున్న సమస్యలను, మీ సమస్యలను ఒక స్థలంలో పరిష్కరించిన సమస్యలను, మీరు ఈ పేజీ గురించి అడగవచ్చు.

నమోదు చేసుకోండి ప్రవేశించు

ఇక్కడ వుపయోగించిన చిహ్నాలు

మొదటి శతాబ్దంలోని క్రైస్తవులు కూడా అదే విధంగా భావించారు.

ప్రశ్నలు

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

ఈ పేజీలోని భాగాలు సవరింపుగా ఉన్నాయి Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). ఇక్కడ సమీకరించబడి మరియు తిరిగి ఉద్భవింపచేయబడిన తప్పులు మావి.

ఇంకా Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs