The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Эми сиз Бул функцияны калкулятор чече албайт, бирок анын бөлүгү эсептелет. Төмөндө бирин сынап көрүңүз же өзүңүздүнсүн жазыңыз.

⌨ Тип ✎ Аны тартуу

Математикалык тапшырма

π Жакшы

Ажыратуу (1)

Каждый из них сначала попробуйте на бумаге. Проверить ответы можно, если они открыты в решении каждого шага.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Аны карап чыгуу Ишенимдүү

Өзүңүздүн иштөөңүздү улантыңыз

Бесплатный аккаунт добавляет заметки к каждому уроку, записывает завершенные и решенные задачи в одном месте, а также позволяет задавать вопросы учителю по этой странице. Математика өзү бардык окуучуларга ачык, ал компьютерге киргенде да, кирбегенде да.

Каттоо Кирүү

Бул жерде колдонулган символдор

Бардык символдорду басып, толук аныктамасын, сүрөтүн жана ар бир тамгасынын маанисин көрсөңүз болот.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Кээ бирлердин суроосу

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Бул барактын айрым бөлүгү төмөнкү булактан алынды Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Бул жерде кыскартылып жана кайрадан түшүндүрүлгөн; каталарыбыз өзүбүздүкү.

Кээ бирлери Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs