maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

Иштөө мисалы · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Аткаруу

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Жауап
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Эми сиз Задание выберите, нажмите на него или нарисуйте его. Каждый шаг, рисунок, ответ скрыт до тех пор, пока вы не спросите.

Өзүңүздүн иштөөңүздү улантыңыз

Бесплатный аккаунт добавляет заметки к каждому уроку, записывает завершенные и решенные задачи в одном месте, а также позволяет задавать вопросы учителю по этой странице. Математика өзү бардык окуучуларга ачык, ал компьютерге киргенде да, кирбегенде да.

Каттоо Кирүү

Бул жерде колдонулган символдор

Бардык символдорду басып, толук аныктамасын, сүрөтүн жана ар бир тамгасынын маанисин көрсөңүз болот.

Кантип: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Кээ бирлердин суроосу

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Кээ бирлери Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs