maths.free › Real Analysis › Sequences and their limits

Sequences and their limits

What it means for aₙ to approach L, and the limits that define e and π.

A sequence converges to L when its terms eventually stay as close to L as you like. That “as you like” is the ε in every analysis proof. (1 + 1/n)ⁿ creeps up to e; n/(n + 1) creeps up to 1; (−1)ⁿ never settles. The graph shows the terms approaching the limit.

Toimiva esimerkki · limit of (1 + 1/n)^n as n -> oo

Calculus · Limits

Limit of (1 + 1/n)^n as n → oo

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}

Askel kerrallaan

  1. \lim_{n \to \infty^+-} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}

    Try direct substitution first.

  2. \

    As x grows without bound, compare the fastest-growing terms (or divide top and bottom by the highest power).

  3. = e

    Take the limit.

Paljasta vastaus
e

Nyt sinä Valitse ongelma tai kirjoita tai piirrä omasi. Jokainen vaihe, kuva ja vastaus piilotettuna, kunnes kysyt.

Pidä oma työsi

Vapaa tili lisää muistiinpanoja jokaiseen oppituntiin, muistiinpanoja siitä, mitä olet saanut päätökseen, ratkaistuja ongelmiasi yhdessä paikassa ja ohjaajaa, jolta voit kysyä tästä sivusta. Matematiikka on kaikille avoin, kirjautunut tai ei.

Rekisteröidy Kirjautuminen

Symbolit, joita käytetään täällä

Napauta symbolia koko määrittelyn, kuvan ja sen jokaisen kirjaimen osalta.

Miten: Sequences and their limits

  1. Try direct substitution first.
  2. As x grows without bound, compare the fastest-growing terms (or divide top and bottom by the highest power).
  3. Take the limit.

Kysymyksiä

What is the ε, δ definition actually saying?

That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.

Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?

Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.

Lisää Real Analysis

Convergence of seriesImproper integralsTaylor approximation and errorFunctions of a complex variableContinuity and differentiability, rigorouslySequences of functions and uniform convergence