maths.free › Real Analysis › Improper integrals

Improper integrals

Integrals to infinity or across a singularity, defined as limits.

∫₁^∞ 1/x² dx is a limit of ∫₁^b as b → ∞, and it converges to 1; the same integral of 1/x diverges. The boundary between the two, p = 1, is the same boundary as for the p-series. The integral test is exactly this correspondence.

Жұмыстағы мысал · integrate 1/x^2 dx from 1 to oo

Calculus · Definite-Integrals

Integrate x^(-2) from 1 to oo

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx

Қадам сайын

  1. \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx

    First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).

  2. \int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

    Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).

  3. F(\infty) - F(1) = \left(0\right) - \left(-1\right)

    Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.

  4. = 1

    Simplify.

Жауап беріңіз
1

Енді сен Мәтінді таңдап, жазу немесе өзіңіздің мәтініңізді салу. Әрбір қадамы сурет, сұрағанша жауап жасырылады.

Өзіңіздің жұмысыңызды жалғастыру

Тіркелгіңізде әрбір сабақта жазбалар, орындалған тапсырмалар, шешілген тапсырмалар бір жерде сақталады, және мұғалімге осы бет туралы сұрақ қоюға болады. Математикалық сабақтар жүйеге кірген немесе кірмеген кез келген адамға ашық.

Жазылу Кіру

Мұнда қолданылатын символдар

Тұтас анықтамасын, суретін және әрбір әріптің мағынасын көру үшін кез келген символды түртіңіз.

Не істеу керек: Improper integrals

  1. First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
  2. Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
  3. Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
  4. Simplify.

Адамдар қоятын сұрақтар

What is the ε, δ definition actually saying?

That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.

Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?

Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.

Келесіде Real Analysis

Sequences and their limitsConvergence of seriesTaylor approximation and errorFunctions of a complex variableContinuity and differentiability, rigorouslySequences of functions and uniform convergence