maths.free › Real Analysis › Improper integrals

Improper integrals

Integrals to infinity or across a singularity, defined as limits.

∫₁^∞ 1/x² dx is a limit of ∫₁^b as b → ∞, and it converges to 1; the same integral of 1/x diverges. The boundary between the two, p = 1, is the same boundary as for the p-series. The integral test is exactly this correspondence.

Օրինակ · integrate 1/x^2 dx from 1 to oo

Calculus · Definite-Integrals

Integrate x^(-2) from 1 to oo

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx

Քայլ առ քայլ

  1. \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx

    First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).

  2. \int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

    Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).

  3. F(\infty) - F(1) = \left(0\right) - \left(-1\right)

    Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.

  4. = 1

    Simplify.

Առաջարկել պատասխանը
1

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: Improper integrals

  1. First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
  2. Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
  3. Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
  4. Simplify.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

What is the ε, δ definition actually saying?

That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.

Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?

Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.

Ցուցադրել Real Analysis

Sequences and their limitsConvergence of seriesTaylor approximation and errorFunctions of a complex variableContinuity and differentiability, rigorouslySequences of functions and uniform convergence