maths.free › Real Analysis › Taylor approximation and error

Taylor approximation and error

How well a polynomial stands in for a function, and how far you can trust it.

Near the centre the Taylor polynomial is nearly the function; the error is controlled by the next derivative and the distance from the centre. This is why calculators can compute sin: a handful of terms inside a small interval, plus symmetry.

Օրինակ · taylor series of sin(x)

Calculus · Taylor-Series

Taylor series of sin(x)

\sin{\left(x \right)}

Քայլ առ քայլ

f(x) = \sin{\left(x \right)}
Taylor series about x = 0: f(x) = Σ fᵏ(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ.
f^{(0)}(0) = \sin{\left(x \right)}\big|_{x=0} = 0
Derivative 0 at the centre.
f^{(1)}(0) = \cos{\left(x \right)}\big|_{x=0} = 1
Derivative 1 at the centre.
f^{(2)}(0) = - \sin{\left(x \right)}\big|_{x=0} = 0
Derivative 2 at the centre.
f^{(3)}(0) = - \cos{\left(x \right)}\big|_{x=0} = -1
Derivative 3 at the centre.
f^{(4)}(0) = \sin{\left(x \right)}\big|_{x=0} = 0
Derivative 4 at the centre.
f^{(5)}(0) = \cos{\left(x \right)}\big|_{x=0} = 1
Derivative 5 at the centre.
\frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x
Assemble the terms up to degree 5.

Առաջարկել պատասխանը

\frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x + O((x-0)^{6})

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: Taylor approximation and error

Taylor series about x = 0: f(x) = Σ fᵏ(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ.
Derivative 0 at the centre.
Derivative 1 at the centre.
Derivative 2 at the centre.
Derivative 3 at the centre.
Derivative 4 at the centre.
Derivative 5 at the centre.
Assemble the terms up to degree 5.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

What is the ε, δ definition actually saying?

That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.

Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?

Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.

Ցուցադրել Real Analysis

Sequences and their limits Convergence of series Improper integrals Functions of a complex variable Continuity and differentiability, rigorously Sequences of functions and uniform convergence