maths.free › Number Theory › RSA: cryptography from number theory

RSA: cryptography from number theory

Public keys from two primes, and why factoring is the lock.

Choose primes p, q; n = pq; pick e coprime to φ(n) = (p − 1)(q − 1); the private key d is e⁻¹ mod φ(n). Encrypt mᵉ mod n, decrypt with d. The security is the difficulty of factoring n. Picture it: a padlock anyone can snap shut (e) that only the key (d) opens. Think it: correctness is Euler's theorem; the whole scheme is one modular inverse.

Ví dụ đã làm · inverse of 17 mod 3120

Number-Theory · Modular-Arithmetic

Inverse of 17 mod 3120

17,\ 3120

Bước một bước

  1. 17x \equiv 1 \pmod{3120}

    We want x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when gcd(a, m) = 1.

  2. 3120 = 183 \times 17 + 9

    Euclid step.

  3. 17 = 1 \times 9 + 8

    Euclid step.

  4. 9 = 1 \times 8 + 1

    Euclid step.

  5. 8 = 8 \times 1 + 0

    Euclid step.

  6. 17 \times 2753 = 46801 \equiv 1 \pmod{3120}

    Back-substitute (extended Euclid) to express 1 as a combination of a and m; the coefficient of a is the inverse.

Giải đáp
17^{-1} \equiv 2753 \pmod{3120}

Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.

Để cho anh làm việc

Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.

Đăng ký Đăng nhập

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Làm thế nào: RSA: cryptography from number theory

  1. We want x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when gcd(a, m) = 1.
  2. Euclid step.
  3. Euclid step.
  4. Euclid step.
  5. Euclid step.
  6. Back-substitute (extended Euclid) to express 1 as a combination of a and m; the coefficient of a is the inverse.

Câu hỏi người ta hỏi

Why are primes so important?

Every integer factors into primes in exactly one way, so primes are the atoms of multiplication. Cryptography relies on that factoring being easy to state and hard to do.

How do I tell whether a big number is prime?

Trial division up to the square root works for small numbers. For large ones, probabilistic tests (Miller-Rabin) give an answer that is wrong with negligible probability, and deterministic tests (AKS) exist but are slower.

More in Number Theory

Prime factorisationPrime numbersGCD and LCMModular arithmeticDivisorsSequencesNumber basesDiophantine equationsFermat's little theorem and Euler's theorem