maths.free › Number Theory › Prime factorisation

Prime factorisation

Every integer is a product of primes in exactly one way.

Divide out the smallest prime again and again until only 1 is left; the primes you removed, with their multiplicities, are the unique prime factorisation. The factor tree below is drawn from those divisions. From it you can read the number of divisors and the gcd or lcm with any other number.

Ví dụ đã làm · prime factorization of 360

Number-Theory · Prime-Factorization

Prime factorization of 360

360

Bước một bước

  1. 360

    Factor 360 by dividing out the smallest prime that goes in, again and again.

  2. 360 = 2 \times 180

    2 is the smallest prime dividing 360.

  3. 180 = 2 \times 90

    2 is the smallest prime dividing 180.

  4. 90 = 2 \times 45

    2 is the smallest prime dividing 90.

  5. 45 = 3 \times 15

    3 is the smallest prime dividing 45.

  6. 15 = 3 \times 5

    3 is the smallest prime dividing 15. That leaves a prime, so we stop.

  7. 5 = 5 \times 1

    5 is the smallest prime dividing 5. That leaves a prime, so we stop.

  8. 360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

    Collect equal primes as powers.

  9. d(360) = (3+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 24

    Bonus: the number of divisors is the product of (exponent + 1) over the prime powers.

Giải đáp
360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.

Để cho anh làm việc

Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.

Đăng ký Đăng nhập

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Làm thế nào: Prime factorisation

  1. Factor 360 by dividing out the smallest prime that goes in, again and again.
  2. 2 is the smallest prime dividing 360.
  3. 2 is the smallest prime dividing 180.
  4. 2 is the smallest prime dividing 90.
  5. 3 is the smallest prime dividing 45.
  6. 3 is the smallest prime dividing 15. That leaves a prime, so we stop.
  7. 5 is the smallest prime dividing 5. That leaves a prime, so we stop.
  8. Collect equal primes as powers.

Câu hỏi người ta hỏi

Why are primes so important?

Every integer factors into primes in exactly one way, so primes are the atoms of multiplication. Cryptography relies on that factoring being easy to state and hard to do.

How do I tell whether a big number is prime?

Trial division up to the square root works for small numbers. For large ones, probabilistic tests (Miller-Rabin) give an answer that is wrong with negligible probability, and deterministic tests (AKS) exist but are slower.

More in Number Theory

Prime numbersGCD and LCMModular arithmeticDivisorsSequencesNumber basesDiophantine equationsFermat's little theorem and Euler's theoremRSA: cryptography from number theory