maths.free › Multivariable Calculus › Double and triple integrals
Double and triple integrals
Volume under a surface by iterated integration; changing the order and the coordinates.
∫∫ f dA sums f over a region by integrating one variable at a time (Fubini). Polar coordinates turn circles into rectangles and give the famous ∫e^{−x²} = √π. Picture it: the volume under the surface z = f(x, y) over the region. Think it: the Jacobian is the local scaling factor (the determinant of the derivative), which is why r appears in polar integrals.
Ví dụ đã làm · integrate x^2 dx from 0 to 1
Bước một bước
- \int_{0}^{1} x^{2}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}
Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(0\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{1}{3}
Simplify.
Giải đáp
Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.
Ký hiệu được dùng ở đây
Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.
Làm thế nào: Double and triple integrals
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Câu hỏi người ta hỏi
What is a partial derivative?
The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.
What does the gradient point at?
Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.
More in Multivariable Calculus
Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientOptimisation in several variablesVector fields, line integrals and the big theorems