maths.free › Multivariable Calculus › Double and triple integrals
Double and triple integrals
Volume under a surface by iterated integration; changing the order and the coordinates.
∫∫ f dA sums f over a region by integrating one variable at a time (Fubini). Polar coordinates turn circles into rectangles and give the famous ∫e^{−x²} = √π. Picture it: the volume under the surface z = f(x, y) over the region. Think it: the Jacobian is the local scaling factor (the determinant of the derivative), which is why r appears in polar integrals.
పనిరోజులు · integrate x^2 dx from 0 to 1
అడుగు ద్వారా
- \int_{0}^{1} x^{2}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}
Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(0\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{1}{3}
Simplify.
జవాబు వెల్లడి చేయండి
ఇప్పుడుమీరు ప్రతీ అడుగున, మీరు అడిగేంత వరకు దాక్కున్న జవాబు.
మీరు ఏ పాఠం నేర్చుకున్నారో, ఆ విషయం గురించి ఒక రిపోర్టులో మీరు తీసుకున్న సమస్యలను, మీ సమస్యలను ఒక స్థలంలో పరిష్కరించిన సమస్యలను, మీరు ఈ పేజీ గురించి అడగవచ్చు.
నమోదు చేసుకోండి ప్రవేశించుఇక్కడ వుపయోగించిన చిహ్నాలు
మొదటి శతాబ్దంలోని క్రైస్తవులు కూడా అదే విధంగా భావించారు.
ఎలా: Double and triple integrals
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
ప్రశ్నలు
What is a partial derivative?
The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.
What does the gradient point at?
Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.
ఇంకా Multivariable Calculus
Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientOptimisation in several variablesVector fields, line integrals and the big theorems