maths.free › Multivariable Calculus › Double and triple integrals
Double and triple integrals
Volume under a surface by iterated integration; changing the order and the coordinates.
∫∫ f dA sums f over a region by integrating one variable at a time (Fubini). Polar coordinates turn circles into rectangles and give the famous ∫e^{−x²} = √π. Picture it: the volume under the surface z = f(x, y) over the region. Think it: the Jacobian is the local scaling factor (the determinant of the derivative), which is why r appears in polar integrals.
Разобранный пример · integrate x^2 dx from 0 to 1
Шаг за шагом
- \int_{0}^{1} x^{2}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}
Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(0\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{1}{3}
Simplify.
Показать ответ
Теперь ты Pick a problem, or type or draw your own. Every step, a picture, the answer hidden until you ask.
Бесплатный аккаунт добавляет записи на каждом уроке, записи о том, что вы закончили, ваши проблемы решены в одном месте, и репетитор, которого вы можете спросить об этой странице. Сама математика открыта для всех, подписана или нет.
Зарегистрироваться ВходИспользуемые здесь символы
Нарисуйте любой символ для полного определения, картинку, и что каждая буква в ней означает.
Как: Double and triple integrals
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Вопросы, которые люди задают
What is a partial derivative?
The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.
What does the gradient point at?
Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.
Ещё в разделе Multivariable Calculus
Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientOptimisation in several variablesVector fields, line integrals and the big theorems