maths.free › Multivariable Calculus › Double and triple integrals

Double and triple integrals

Volume under a surface by iterated integration; changing the order and the coordinates.

∫∫ f dA sums f over a region by integrating one variable at a time (Fubini). Polar coordinates turn circles into rectangles and give the famous ∫e^{−x²} = √π. Picture it: the volume under the surface z = f(x, y) over the region. Think it: the Jacobian is the local scaling factor (the determinant of the derivative), which is why r appears in polar integrals.

Przykład pracownika · integrate x^2 dx from 0 to 1

Calculus · Definite-Integrals

Integrate x^2 from 0 to 1

\int_{0}^{1} x^{2}\, dx

Krok po kroku

  1. \int_{0}^{1} x^{2}\, dx

    First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).

  2. \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

    Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).

  3. F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(0\right)

    Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.

  4. = \frac{1}{3}

    Simplify.

Odkryj odpowiedź
\frac{1}{3}

Teraz ty Wybierz problem, albo wpisz lub narysuj swój własny. Każdy krok, obraz, odpowiedź ukryta, dopóki nie zapytasz.

Zachowaj swoją pracę.

Darmowe konto dodaje notatki na każdej lekcji, zapis tego, co zakończyłeś, rozwiązane problemy w jednym miejscu, a także korepetytor, którego możesz zapytać o tę stronę. Matematyka sama jest otwarta dla wszystkich, zapisana lub nie.

Podpisz Zalogowanie

Symbole używane tutaj

Dotknij dowolny symbol pełnej definicji, obrazu i co oznacza każda litera.

Jak to zrobić?: Double and triple integrals

  1. First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
  2. Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
  3. Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
  4. Simplify.

Pytania, które ludzie zadają

What is a partial derivative?

The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.

What does the gradient point at?

Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.

Więcej w Multivariable Calculus

Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientOptimisation in several variablesVector fields, line integrals and the big theorems