maths.free › Measure Theory › σ-algebras and measures
σ-algebras and measures
Which sets can be measured, and the countable additivity that makes limits work.
A σ-algebra is a family of sets closed under complements and countable unions; a measure assigns sizes additively over countable disjoint unions. Lebesgue measure gives intervals their length and extends to far stranger sets. Picture it: covering a set by intervals and taking the cheapest total length. Think it: not every set is measurable (Vitali), which is why the σ-algebra is part of the definition.
Намунаи коркардашуда · integrate 1/10 dx from 2 to 5
Қадами ба қадам
- \int_{2}^{5} \frac{1}{10}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \frac{1}{10}\, dx = \frac{x}{10}
The integral of a constant c is c·x.
- F(5) - F(2) = \left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{5}\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{3}{10}
Simplify.
Ҷавоби ҷавобро нишон диҳед
Ҳоло шумо Масъаларо интихоб кунед, ё ки онро навишта ё кашед. Ҳар қадам, тасвир, ҷавоб то он даме, ки шумо пурсед, пинҳон мешавад.
Дар ҳисоби ройгон ба ҳар як дарс қайдҳо илова карда мешаванд, қайди он, ки шумо чӣ кор кардаед, масъалаҳои ҳалшуда дар як ҷо ва муаллиме, ки шумо метавонед дар бораи ин саҳифа пурсед. Математика барои ҳама кушода аст, хоҳ ворид шуда бошад ё на.
Бақайдгирӣ Ворид шуданСимволы, используемые здесь
Барои муайянкунии пурраи маъно, тасвир ва маънои ҳар як ҳарф дар он, ба ҳар як аломат пахш кунед.
Чӣ тавр: σ-algebras and measures
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- The integral of a constant c is c·x.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Саволҳои маъмул
What is wrong with the Riemann integral?
It fails on functions that oscillate too much, and it does not interact well with limits: the limit of integrable functions need not be integrable. Lebesgue's integral fixes both.