maths.free › Measure Theory › σ-algebras and measures
σ-algebras and measures
Which sets can be measured, and the countable additivity that makes limits work.
A σ-algebra is a family of sets closed under complements and countable unions; a measure assigns sizes additively over countable disjoint unions. Lebesgue measure gives intervals their length and extends to far stranger sets. Picture it: covering a set by intervals and taking the cheapest total length. Think it: not every set is measurable (Vitali), which is why the σ-algebra is part of the definition.
Opracovaný příklad · integrate 1/10 dx from 2 to 5
Krok za krokem
- \int_{2}^{5} \frac{1}{10}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \frac{1}{10}\, dx = \frac{x}{10}
The integral of a constant c is c·x.
- F(5) - F(2) = \left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{5}\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{3}{10}
Simplify.
Odhalte odpověď
Teď ty. Vyberte si problém, nebo zadejte nebo nakreslit vlastní. Každý krok, obrázek, odpověď skrytou, dokud se zeptáte.
Volný účet přidává poznámky k každé lekci, záznam o tom, co jste dokončili, vaše vyřešené problémy na jednom místě, a doučování můžete požádat o tuto stránku. Matematika sama je otevřena pro každého, zaregistrované nebo ne.
Zaregistrovat se PřihlášeníZde použité symboly
Ťukněte na jakýkoliv symbol pro úplnou definici, obrázek a co každé písmeno v něm znamená.
Jak se: σ-algebras and measures
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- The integral of a constant c is c·x.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Otázky, které se lidé ptají
What is wrong with the Riemann integral?
It fails on functions that oscillate too much, and it does not interact well with limits: the limit of integrable functions need not be integrable. Lebesgue's integral fixes both.