maths.free › Linear Algebra › Diagonalisation and matrix powers

Diagonalisation and matrix powers

A = PDP⁻¹, computing Aⁿ, and the matrices that cannot be diagonalised.

With a full set of eigenvectors, A = PDP⁻¹ where D is diagonal, so Aⁿ = PDⁿP⁻¹: Fibonacci in closed form, Markov chains at equilibrium. Picture it: the transformation stretching along eigenvector directions and nothing else. Think it: symmetric matrices always diagonalise with orthogonal eigenvectors (the spectral theorem); defective ones need Jordan form.

Ví dụ đã làm · eigenvalues of [[4,1],[2,3]]

Linear-Algebra · Eigenvalues

Eigenvalues of [[4,1],[2,3]]

\left[\begin{matrix}4 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right]

Bước một bước

  1. \det(A - \lambda I) = 0

    Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.

  2. \det\left[\begin{matrix}4 - \lambda & 1\\2 & 3 - \lambda\end{matrix}\right] = 0

    Subtract λ from the diagonal.

  3. \lambda^{2} - 7 \lambda + 10 = 0

    Expand the determinant.

  4. \left(\lambda - 5\right) \left(\lambda - 2\right) = 0

    Factor.

  5. \lambda = 5, \lambda = 2

    Eigenvalues (with multiplicity).

  6. \lambda = 2:\ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}- \frac{1}{2}\\1\end{matrix}\right]

    Solve (A − 2I)v = 0 for a basis eigenvector.

  7. \lambda = 5:\ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]

    Solve (A − 5I)v = 0 for a basis eigenvector.

Giải đáp
\lambda = 5,\; \lambda = 2

Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.

Để cho anh làm việc

Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.

Đăng ký Đăng nhập

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Làm thế nào: Diagonalisation and matrix powers

  1. Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.
  2. Subtract λ from the diagonal.
  3. Expand the determinant.
  4. Factor.
  5. Eigenvalues (with multiplicity).
  6. Solve (A − 2I)v = 0 for a basis eigenvector.
  7. Solve (A − 5I)v = 0 for a basis eigenvector.

Câu hỏi người ta hỏi

What does a determinant mean geometrically?

It is the factor by which the matrix scales area (2×2) or volume (3×3), with a negative sign if orientation flips. Zero means the matrix flattens space and cannot be undone.

What is an eigenvector?

A direction the matrix does not turn: it only stretches it by the eigenvalue. Along eigenvectors a complicated matrix acts like multiplication by a number.

Why is matrix multiplication not commutative?

Because a matrix is a transformation and AB means "do B, then A". Rotating then reflecting is not the same as reflecting then rotating.

More in Linear Algebra

DeterminantsMatrix inverseEigenvalues and eigenvectorsMatrix multiplicationRow reductionVector spaces, span and linear independenceOrthogonality, projections and least squaresLinear transformations and change of basis