maths.free › Functional Analysis › Hilbert spaces and the spectral theorem
Hilbert spaces and the spectral theorem
Inner products, orthonormal bases, Fourier series, and eigenvalues of operators.
An inner product gives angles and projections; an orthonormal basis expands any vector: Fourier series are exactly this in L². Self-adjoint operators have real spectrum and an eigen-decomposition, the infinite-dimensional version of diagonalising a symmetric matrix. Picture it: the symmetric matrix [[2,1],[1,2]] stretching along two perpendicular eigenvectors. Think it: quantum observables are self-adjoint operators; measurement outcomes are their spectrum.
কাজের উদাহরণ · eigenvalues of [[2,1],[1,2]]
Eigenvalues of [[2,1],[1,2]]
ধাপ ধাপে
- \det(A - \lambda I) = 0
Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.
- \det\left[\begin{matrix}2 - \lambda & 1\\1 & 2 - \lambda\end{matrix}\right] = 0
Subtract λ from the diagonal.
- \lambda^{2} - 4 \lambda + 3 = 0
Expand the determinant.
- \left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) = 0
Factor.
- \lambda = 3, \lambda = 1
Eigenvalues (with multiplicity).
- \lambda = 1:\ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right]
Solve (A − 1I)v = 0 for a basis eigenvector.
- \lambda = 3:\ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]
Solve (A − 3I)v = 0 for a basis eigenvector.
উত্তর প্রকাশ করুন
এখন তুমি একটি সমস্যা বেছে নিন, অথবা নিজের সমস্যা টাইপ করুন অথবা আঁকুন। প্রতিটি পদক্ষেপ, একটি ছবি, উত্তর আড়াল করা আছে যতক্ষণ না আপনি প্রশ্ন করেন।
একটি বিনামূল্যে অ্যাকাউন্ট প্রতিটি পাঠের নোট যোগ করে, আপনি কি শেষ করেছেন তার একটি রেকর্ড, আপনার সমাধান করা সমস্যা এক জায়গায়, এবং আপনি এই পাতা সম্পর্কে একজন টিউটরকে জিজ্ঞাসা করতে পারেন। গণিত নিজেই সবার জন্য উন্মুক্ত, লগইন করা হোক বা না হোক।
নিবন্ধন করুন লগ- ইনএখানে ব্যবহৃত প্রতীক
যে কোন প্রতীক চাপুন সম্পূর্ণ সংজ্ঞা, একটি ছবি এবং এর প্রতিটি অক্ষরের অর্থের জন্য।
কিভাবে: Hilbert spaces and the spectral theorem
- Eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial.
- Subtract λ from the diagonal.
- Expand the determinant.
- Factor.
- Eigenvalues (with multiplicity).
- Solve (A − 1I)v = 0 for a basis eigenvector.
- Solve (A − 3I)v = 0 for a basis eigenvector.
মানুষ জিজ্ঞাসা করে
What is a Hilbert space?
A vector space with an inner product (so lengths and angles make sense) that is complete (no missing limit points). Square-integrable functions form one; quantum states live in one.