maths.free › Differential Geometry › Curves, arc length and curvature
Curves, arc length and curvature
Parametrised curves, the unit tangent, curvature as the turning rate.
Arc length is ∫|r′(t)| dt; curvature is how fast the unit tangent turns per unit length. A circle of radius R has curvature 1/R. Picture it: the parabola y = x² curving most tightly at its vertex. Think it: curvature and torsion determine a space curve up to rigid motion (the fundamental theorem of curves).
Ví dụ đã làm · integrate sqrt(1 + 4x^2) dx from 0 to 1
Integrate sqrt(4x^2 + 1) from 0 to 1
Bước một bước
- \int_{0}^{1} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{4}
SqrtQuadratic rule.
- F(1) - F(0) = \left(\frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - \left(0\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.4789
Simplify.
Giải đáp
Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.
Ký hiệu được dùng ở đây
Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.
Làm thế nào: Curves, arc length and curvature
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- SqrtQuadratic rule.
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
Câu hỏi người ta hỏi
What is curvature?
For a curve, how fast its direction turns per unit length; for a surface, Gauss's combination of the two principal bendings, and Gauss's theorem says it can be measured from inside the surface without leaving it.