maths.free › Differential Geometry › Curves, arc length and curvature

Curves, arc length and curvature

Parametrised curves, the unit tangent, curvature as the turning rate.

Arc length is ∫|r′(t)| dt; curvature is how fast the unit tangent turns per unit length. A circle of radius R has curvature 1/R. Picture it: the parabola y = x² curving most tightly at its vertex. Think it: curvature and torsion determine a space curve up to rigid motion (the fundamental theorem of curves).

Gumagana halimbawa · integrate sqrt(1 + 4x^2) dx from 0 to 1

Calculus · Definite-Integrals

Integrate sqrt(4x^2 + 1) from 0 to 1

\int_{0}^{1} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx

Hakbang-hakbang

  1. \int_{0}^{1} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx

    First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).

  2. \int \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx = \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{4}

    SqrtQuadratic rule.

  3. F(1) - F(0) = \left(\frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - \left(0\right)

    Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.

  4. = \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.4789

    Simplify.

Ipahayag ang sagot
\frac{\operatorname{asinh}{\left(2 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2}

Ngayon ikaw Pumili ng isang problema, o i-type o gumuhit ng iyong sarili. Sa bawat hakbang, isang larawan, ang sagot na nakatago hanggang sa hilingin mo.

Panatilihin ang iyong sariling nagtatrabaho

Ang isang libreng account ay nagdaragdag ng mga tala sa bawat aralin, isang tala ng kung ano ang iyong natapos, ang iyong mga nalulutas na problema sa isang lugar, at isang guro na maaari mong tanungin tungkol sa pahinang ito. Ang matematika mismo ay bukas sa lahat, naka-sign in o hindi.

Mag-sign Up Mag-login

Mga simbolong ginagamit dito

I-tap ang anumang simbolo para sa buong kahulugan, isang larawan, at kung ano ang ibig sabihin ng bawat titik sa ito.

Paano: Curves, arc length and curvature

  1. First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
  2. SqrtQuadratic rule.
  3. Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
  4. Simplify.

Mga katanungan na tanong ng mga tao

What is curvature?

For a curve, how fast its direction turns per unit length; for a surface, Gauss's combination of the two principal bendings, and Gauss's theorem says it can be measured from inside the surface without leaving it.

Higit pa sa Differential Geometry

Surfaces and Gaussian curvature