maths.free › Complex Analysis › Power series and analytic continuation

Power series and analytic continuation

Radius of convergence, the identity theorem, and extending ζ(s) beyond its series.

A holomorphic function equals its Taylor series on the largest disc avoiding singularities. Two holomorphic functions agreeing on a small set agree everywhere they are both defined, so a function can be extended uniquely, which is how ζ(s) exists at s = −1 (and equals −1/12). Picture it: the geometric series 1/(1 − x) converging inside |x| < 1, though the function lives everywhere except x = 1. Think it: this rigidity is the engine of the Riemann Hypothesis page.

Ví dụ đã làm · taylor series of 1/(1-x)

Calculus · Taylor-Series

Taylor series of 1/(1 - x)

\frac{1}{1 - x}

Bước một bước

f(x) = \frac{1}{1 - x}
Taylor series about x = 0: f(x) = Σ fᵏ(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ.
f^{(0)}(0) = \frac{1}{1 - x}\big|_{x=0} = 1
Derivative 0 at the centre.
f^{(1)}(0) = \frac{1}{\left(1 - x\right)^{2}}\big|_{x=0} = 1
Derivative 1 at the centre.
f^{(2)}(0) = - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}\big|_{x=0} = 2
Derivative 2 at the centre.
f^{(3)}(0) = \frac{6}{\left(x - 1\right)^{4}}\big|_{x=0} = 6
Derivative 3 at the centre.
f^{(4)}(0) = - \frac{24}{\left(x - 1\right)^{5}}\big|_{x=0} = 24
Derivative 4 at the centre.
f^{(5)}(0) = \frac{120}{\left(x - 1\right)^{6}}\big|_{x=0} = 120
Derivative 5 at the centre.
x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1
Assemble the terms up to degree 5.

Giải đáp

x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 + O((x-0)^{6})

Now you Chọn một bài toán, hoặc gõ hoặc vẽ của riêng mình. Mỗi bước, một bức tranh, câu trả lời ẩn cho đến khi bạn hỏi.

Để cho anh làm việc

Một tài khoản miễn phí thêm ghi chú vào mỗi bài học, ghi chép những gì bạn đã hoàn thành, các bài toán bạn giải quyết ở một nơi, và một giáo viên bạn có thể hỏi về trang này. Toán học là mở cho mọi người, dù có đăng nhập hay không.

Đăng ký Đăng nhập

Ký hiệu được dùng ở đây

Nhấn vào bất kỳ ký hiệu nào để xem định nghĩa đầy đủ, một bức ảnh, và ý nghĩa của từng chữ cái trong nó.

Làm thế nào: Power series and analytic continuation

Taylor series about x = 0: f(x) = Σ fᵏ(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ.
Derivative 0 at the centre.
Derivative 1 at the centre.
Derivative 2 at the centre.
Derivative 3 at the centre.
Derivative 4 at the centre.
Derivative 5 at the centre.
Assemble the terms up to degree 5.

Câu hỏi người ta hỏi

Why is complex differentiability so much stronger than real?

The limit must be the same from every direction in the plane, not just two. That forces the Cauchy-Riemann equations, which in turn force infinitely many derivatives and a convergent Taylor series.

What is a residue?

The coefficient of 1/(z − a) in the Laurent series at a singularity a. The residue theorem says a contour integral equals 2πi times the sum of the residues inside, which evaluates many real integrals in one line.

More in Complex Analysis

The complex plane and Euler's formula Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations Contour integrals and the residue theorem