maths.free › Complex Analysis › Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations

Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations

What complex differentiability demands, and why it is so restrictive.

f = u + iv is holomorphic when u_x = v_y and u_y = −v_x. Then u and v are harmonic and f is infinitely differentiable. Picture it: z² = (x² − y²) + i(2xy): the level curves of the real and imaginary parts cross at right angles. Think it: the derivative at a point is a rotation-and-scaling, so holomorphic maps preserve angles (conformal).

Voorbeeld van werk · derivative of x^2 - y^2 wrt x

Calculus · Derivatives

Differentiate x^2 - y^2

\frac{d}{dx}\left[x^{2} - y^{2}\right]

Stap voor stap

  1. \frac{d}{dx}\left[x^{2} - y^{2}\right]

    Start from the derivative to compute.

  2. \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} \left(- y^{2}\right)

    Sum rule: differentiate term by term.

  3. 2 x + \frac{d}{d x} \left(- y^{2}\right)

    Power rule: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ with n = 2.

  4. 2 x

    The derivative of a constant is 0.

Onthul het antwoord
f'(x) = 2 x

Nu jij. Kies een probleem, type of teken je eigen. Elke stap, een foto, het antwoord verborgen totdat je het vraagt.

Blijf jezelf aan het werk

Een gratis account voegt notities toe bij elke les, een record van wat je klaar bent, je problemen opgelost op één plaats, en een leraar die je kunt vragen over deze pagina. De wiskunde zelf is open voor iedereen, ingelogd of niet.

Aanmelden Aanmelden

Hier gebruikte symbolen

Tik op elk symbool voor de volledige definitie, een afbeelding en wat elke letter erin betekent.

Hoe: Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations

  1. Start from the derivative to compute.
  2. Sum rule: differentiate term by term.
  3. Power rule: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ with n = 2.
  4. The derivative of a constant is 0.

Vragen die mensen stellen

Why is complex differentiability so much stronger than real?

The limit must be the same from every direction in the plane, not just two. That forces the Cauchy-Riemann equations, which in turn force infinitely many derivatives and a convergent Taylor series.

What is a residue?

The coefficient of 1/(z − a) in the Laurent series at a singularity a. The residue theorem says a contour integral equals 2πi times the sum of the residues inside, which evaluates many real integrals in one line.

Meer in Complex Analysis

The complex plane and Euler's formulaContour integrals and the residue theoremPower series and analytic continuation