maths.free › Complex Analysis › The complex plane and Euler's formula
The complex plane and Euler's formula
z = x + iy as a point, modulus and argument, e^{iθ} = cos θ + i sin θ.
Complex numbers are points in the plane; multiplication rotates and scales. Euler's formula makes rotation an exponential, so e^{iπ} = −1. Picture it: polar form of 1 + i, the point at distance √2 and angle 45°. Think it: the exponential map wraps the imaginary axis around the unit circle; that periodicity is why the complex logarithm has branches.
Exemplo resolvido · e^(i*pi)
Passo a passo
- e^{i \pi} = -1
Power: E^(I·π) = -1.
Revelar a resposta
Agora tu Escolha um problema, ou digite ou desenhe o seu próprio. Cada passo, uma imagem, a resposta escondida até que você pergunte.
Uma conta gratuita adiciona notas sobre cada lição, um registro do que você terminou, seus problemas resolvidos em um lugar, e um tutor que você pode perguntar sobre esta página. A própria matemática está aberta a todos, assinada ou não.
Inscrever-se LoginSímbolos usados aqui
Toque em qualquer símbolo para a definição completa, uma imagem e o que cada letra nela significa.
Como: The complex plane and Euler's formula
- Power: E^(I·π) = -1.
Perguntas que as pessoas fazem
Why is complex differentiability so much stronger than real?
The limit must be the same from every direction in the plane, not just two. That forces the Cauchy-Riemann equations, which in turn force infinitely many derivatives and a convergent Taylor series.
What is a residue?
The coefficient of 1/(z − a) in the Laurent series at a singularity a. The residue theorem says a contour integral equals 2πi times the sum of the residues inside, which evaluates many real integrals in one line.
Mais em Complex Analysis
Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equationsContour integrals and the residue theoremPower series and analytic continuation