The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Теперь ты Ни один калькулятор не решает этот вопрос, но его части можно рассчитать. Попробуйте один внизу или напечатайте свой собственный.

⌨ Ввести ✎ Нарисовать

Ваша математическая задача

π Решить

Практика (1)

Сначала попробуйте решить каждую на бумаге. Откройте ответ, чтобы проверить себя; проверенные задачи можно открыть в решателе со всеми шагами.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Разобрать по шагам Подсказка

Сохраняйте свои решения

Бесплатный аккаунт добавляет записи на каждом уроке, записи о том, что вы закончили, ваши проблемы решены в одном месте, и репетитор, которого вы можете спросить об этой странице. Сама математика открыта для всех, подписана или нет.

Зарегистрироваться Вход

Используемые здесь символы

Нарисуйте любой символ для полного определения, картинку, и что каждая буква в ней означает.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Вопросы, которые люди задают

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Части этой страницы адаптированы из Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Здесь материал сокращён и объяснён заново; ошибки наши.

Ещё в разделе Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs