The Binomial Theorem

The Binomial Theorem

Here is a truly basic result from combinatorics kindergarten.

Example

There are times when we are interested not in the full expansion of a power of a binomial, but just the coefficient on one of the terms. The gives that the coefficient of \(x^5y^8\) in \((2x-3y)^{13}\) is \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\).

Nå har du Ingen kalkulator setter opp denne, men brikkene kan brukes. Prøv en nedenfor eller skriv inn din egen.

⌨ Type ✎ Tegn det

Matteproblemet

π Løs

Øvelse (1)

Prøv hver enkelt på papir først. Vis svaret for å sjekke. Verifiserte kan åpnes i løseren for hvert steg.

1. Explain how you can use to give yet another proof of the identity \[\begin{aligned}\end{aligned}\].

   Arbeid gjennom det Tips

Fortsett ditt eget arbeid

En gratis konto legger til notater om hver leksjon, en oversikt over hva du har fullført, problemene du har løst på ett sted og en lærer du kan spørre om. Matematikkene er åpne for alle, signerte på eller ikke.

Registrer Logg inn

Symboler som brukes her

Trykk på et symbol for den fulle definisjonen, et bilde og hva hver bokstav i det betyr.

\binom{n}{k}binomial coefficient, "n choose k"
Number of k-element subsets of n things: n!/(k!(n−k)!).iimaginary unit
i² = −1.n!factorial
n × (n−1) × … × 1; the number of orderings of n things. 0! = 1.\sum_{k=1}^{n} a_ksummation
Add a_k for k = 1 up to n.\prod_{k=1}^{n} a_kproduct
Multiply a_k for k = 1 up to n.\emptysetempty set, cardinality
The set with no elements; the number of elements of A.

Spørsmål folk stiller

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Deler av denne siden er tilpasset fra Keller & Trotter, Applied Combinatorics (CC BY-SA 4.0). Kondensert og re-forklaret her, feil er vår.

Mer i Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionBinomial coefficients and Pascal's triangleRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs