maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

Вработен пример · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Чекор по чекор

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Одкриј го одговорот
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Сега ти. Секој чекор, слика, одговорот е скриен додека не прашаш.

Задржи си ја работата.

Бесплатна сметка додава белешки за секоја лекција, запис за она што сте го завршиле, вашите решени проблеми на едно место, и тутор кој може да го прашате за оваа страница. Самата математика е отворена за сите, потпишана или не.

Потпиши се Најава

Симболи кои се користат тука

Допрете било кој симбол за целосната дефиниција, слика, и што значи секоја буква во неа.

Како да го направиш тоа?: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Прашања што луѓето ги поставуваат

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Повеќе во Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs