maths.free › Combinatorics & Graph Theory › Binomial coefficients and Pascal's triangle

Binomial coefficients and Pascal's triangle

Identities, the binomial theorem, and combinatorial proofs.

C(n, k) counts k-subsets, is the coefficient in (a + b)ⁿ, and satisfies Pascal's rule C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k). Picture it: Pascal's triangle, each entry the sum of the two above. Think it: a combinatorial proof shows two formulas count the same set, no algebra needed.

Töötatud näide · expand (a + b)^6

Algebra · Expanding

Expand (a + b)^6

\left(a + b\right)^{6}

Samm-sammult

  1. \left(a + b\right)^{6}

    Start from the expression.

  2. a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

    Distribute (multiply out) the products.

Vastuse avalikustamine
a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

Nüüd sina. Vali probleem, või kirjuta või joonista oma. Iga samm, pilt, vastus peidetud, kuni küsid.

Hoia oma töö

Tasuta konto lisab märkmeid igale õppetunnile, ülestähenduse, oma lahendatud probleemide kohta ühes kohas ja juhendaja kohta, kellelt võid küsida selle lehekülje kohta. Matemaatika ise on avatud kõigile, allkirjastatud või mitte.

Registreeru Sisselogimine

Siin kasutatavad sümbolid

Koputage kõiki sümboleid, mis on mõeldud täieliku definitsiooni, pildi ja iga tähe all.

Kuidas: Binomial coefficients and Pascal's triangle

  1. Start from the expression.
  2. Distribute (multiply out) the products.

Küsimusi, mida inimesed küsivad

Permutation or combination?

Ask whether order matters. A lock code is a permutation (order matters); a hand of cards is a combination (it does not).

What is a graph in this sense?

Dots (vertices) joined by lines (edges), not a plot. Road maps, social networks and molecules are graphs; questions like "is there a route" and "how few colours" are graph theory.

Rohkem Combinatorics & Graph Theory

The counting principlesPigeonhole principle and inclusion, exclusionRecurrences and generating functionsGraphs: vertices, edges, degreesPaths, cycles, trees, Euler and HamiltonColouring and planar graphs