maths.free › Real Analysis › Convergence of series

Convergence of series

Divergence, ratio, comparison and integral tests, and the harmonic series.

An infinite series converges when its partial sums approach a limit. The terms going to zero is necessary but not enough. The harmonic series 1 + ½ + ⅓ + … diverges even though its terms vanish. The ratio test settles most series with factorials or powers; comparison and the integral test handle the p-series family.

ਕੰਮ ਉਦਾਹਰਨ · does 1/n^2 for n = 1 to oo converge

Calculus · Series-And-Sums

Convergence of n^(-2)

\frac{1}{n^{2}}

ਕਦਮ ਦਰ ਕਦਮ

  1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

    Does this series converge?

  2. \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^{2}} = 0

    Divergence test: if the terms do not go to 0 the series cannot converge.

  3. \lim \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \lim \left|{\frac{n^{2}}{\left(n + 1\right)^{2}}}\right| = 1

    Ratio test: < 1 converges, > 1 diverges, = 1 says nothing.

  4. = \frac{\pi^{2}}{6}

    It converges, and the CAS knows the sum.

ਜਵਾਬ ਦਿਓ
\text{converges to } \frac{\pi^{2}}{6}

ਹੁਣ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੱਸਿਆ ਚੁਣੋ, ਜਾਂ ਆਪਣਾ ਆਪ ਲਿਖੋ ਜਾਂ ਖਿੱਚੋ। ਹਰ ਕਦਮ, ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ, ਜਵਾਬ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਪੁੱਛਦੇ ਹੋ, ਲੁਕਿਆ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਆਪਣੇ ਆਪ ਕੰਮ ਕਰੋ

ਮੁਫਤ ਅਕਾਊਂਟ ਹਰੇਕ ਲੈਕਚਰ ਉੱਤੇ ਨੋਟਿਸ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰਾ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਸ ਦਾ ਰਿਕਾਰਡ, ਤੁਹਾਡੇ ਹੱਲ ਕੀਤੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਇੱਕ ਥਾਂ ਤੇ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਟੂਟੋਰਿਅਲ, ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਫ਼ੇ ਬਾਰੇ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ । ਗਣਿਤ ਆਪ ਹੀ ਹਰੇਕ ਲਈ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਹੈ, ਲਾਗਇਨ ਕੀਤਾ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ ਹੋਵੇ ।

ਸਾਈਨ ਅੱਪ ਲਾਗਇਨ

ਇੱਥੇ ਵਰਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨ

ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਿਸ਼ਾਨ ਨੂੰ ਦਬਾਉ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪੂਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ, ਇੱਕ ਤਸਵੀਰ ਅਤੇ ਹਰ ਅੱਖਰ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ।

ਕਿਵੇਂ: Convergence of series

  1. Does this series converge?
  2. Divergence test: if the terms do not go to 0 the series cannot converge.
  3. Ratio test: < 1 converges, > 1 diverges, = 1 says nothing.
  4. It converges, and the CAS knows the sum.

ਲੋਕ ਪੁੱਛਦੇ ਹਨ

What is the ε, δ definition actually saying?

That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.

Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?

Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.

ਹੋਰ ਵਿੱਚ Real Analysis

Sequences and their limitsImproper integralsTaylor approximation and errorFunctions of a complex variableContinuity and differentiability, rigorouslySequences of functions and uniform convergence