maths.free › Real Analysis › Improper integrals
Improper integrals
Integrals to infinity or across a singularity, defined as limits.
∫₁^∞ 1/x² dx is a limit of ∫₁^b as b → ∞, and it converges to 1; the same integral of 1/x diverges. The boundary between the two, p = 1, is the same boundary as for the p-series. The integral test is exactly this correspondence.
কাজের উদাহরণ · integrate 1/x^2 dx from 1 to oo
ধাপ ধাপে
- \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\, dx
First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- \int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}
Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- F(\infty) - F(1) = \left(0\right) - \left(-1\right)
Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- = 1
Simplify.
উত্তর প্রকাশ করুন
এখন তুমি একটি সমস্যা বেছে নিন, অথবা নিজের সমস্যা টাইপ করুন অথবা আঁকুন। প্রতিটি পদক্ষেপ, একটি ছবি, উত্তর আড়াল করা আছে যতক্ষণ না আপনি প্রশ্ন করেন।
একটি বিনামূল্যে অ্যাকাউন্ট প্রতিটি পাঠের নোট যোগ করে, আপনি কি শেষ করেছেন তার একটি রেকর্ড, আপনার সমাধান করা সমস্যা এক জায়গায়, এবং আপনি এই পাতা সম্পর্কে একজন টিউটরকে জিজ্ঞাসা করতে পারেন। গণিত নিজেই সবার জন্য উন্মুক্ত, লগইন করা হোক বা না হোক।
নিবন্ধন করুন লগ- ইনএখানে ব্যবহৃত প্রতীক
যে কোন প্রতীক চাপুন সম্পূর্ণ সংজ্ঞা, একটি ছবি এবং এর প্রতিটি অক্ষরের অর্থের জন্য।
কিভাবে: Improper integrals
- First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
- Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
- Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
- Simplify.
মানুষ জিজ্ঞাসা করে
What is the ε, δ definition actually saying?
That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.
Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero?
Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.
আরও Real Analysis
Sequences and their limitsConvergence of seriesTaylor approximation and errorFunctions of a complex variableContinuity and differentiability, rigorouslySequences of functions and uniform convergence