← ก่อนหน้านี้
Taylor approximation and error
☰ เนื้อหา
5/43
ต่อไป →
Continuity and differentiability, rigorously
e^{iθ} = cos θ + i sin θ turns rotation into exponentiation, and it is the first step into a subject where differentiable functions are astonishingly rigid: knowing one on a small disc determines it everywhere. The zeta function ζ(s) of the Riemann Hypothesis is such a function; its zeros are the whole story.
ตัวอย่างที่ทำงานแล้ว · e^(i*pi)
Evaluate e^(i*pi)
e^{i \pi}
ก้าวต่อก้าว
e^{i \pi} = -1
Power: E^(I·π) = -1.
เปิดเผยคำตอบ
-1
ตอนนี้คุณ
เลือกปัญหา หรือพิมพ์หรือวาดเอง ทุกขั้นตอน รูปภาพ คำตอบซ่อนไว้ จนกว่าคุณจะถาม
ทำตัวให้ดีๆ
บัญชีฟรีจะเพิ่มข้อความในทุกบทเรียน ข้อมูลของสิ่งที่คุณทำเสร็จ ปัญหาที่คุณแก้ไขในที่เดียว และอาจารย์ที่คุณสามารถถามเกี่ยวกับหน้านี้ได้ คณิตศาสตร์เองก็เปิดให้ทุกคน เข้าใช้งานหรือไม่
ลงทะเบียน
ล็อกอิน
สัญลักษณ์ที่ใช้ที่นี่
คลิกสัญลักษณ์ใดก็ได้ เพื่อดูคำอธิบาย รูปภาพ และความหมายของตัวอักษร
\pi pi Ratio of a circle's circumference to its diameter, 3.14159… e Euler's number 2.71828…, the base whose exponential is its own derivative. i imaginary unit i² = −1. \leq less/greater than or equal Inequalities that allow equality; < and > exclude it. |x| absolute value / modulus Distance from zero: |−3| = 3. For a complex number, distance from the origin. \infty infinity Not a number: "grows without bound" in limits and intervals. \sum_{k=1}^{n} a_k summation Add a_k for k = 1 up to n. \prod_{k=1}^{n} a_k product Multiply a_k for k = 1 up to n. \lim_{x \to a} f(x) limit The value f(x) approaches as x approaches a. \int f(x) integral Antiderivative (indefinite) or signed area from a to b (definite). \mathbb{N} number sets Naturals, integers, rationals, reals, complex numbers. \forall for all, there exists Quantifiers: every x; at least one x. \blacksquare\ \text{or}\ \square end of proof (halmos) Marks the point where the statement has been established. \varepsilon epsilon, delta Small positive tolerances in the definition of a limit. \sup supremum, infimum Least upper bound, greatest lower bound. B(x open ball, closure, boundary Points within r of x; A plus its limit points; the edge of A.
สัญลักษณ์บนหน้านี้
คลิกที่หนึ่งเพื่อดูความหมาย
\pi pi › e Euler's number › i imaginary unit › \leq less/greater than or equal › |x| absolute value / modulus › \infty infinity › \sum_{k=1}^{n} a_k summation › \prod_{k=1}^{n} a_k product › \lim_{x \to a} f(x) limit › \int f(x) integral › \mathbb{N} number sets › \forall for all › \blacksquare\ \text{or}\ \square end of proof › \varepsilon epsilon › \sup supremum › B(x open ball ›
วิธีการ: Functions of a complex variable
Power: E^(I·π) = -1.
คำถามที่คนถาม
What is the ε, δ definition actually saying? That you can make the output as close to the limit as anyone demands (within ε) by keeping the input close enough (within δ). It replaces "approaches" with a challenge-and-response that can be checked.
Why does the harmonic series diverge when its terms go to zero? Because the terms shrink too slowly: group them as 1/3 + 1/4 > 1/2, 1/5 + … + 1/8 > 1/2, and so on: infinitely many halves.
เพิ่มเติมใน Real Analysis
Sequences and their limits Convergence of series Improper integrals Taylor approximation and error Continuity and differentiability, rigorously Sequences of functions and uniform convergence