maths.free › Topology › Compactness and connectedness

Compactness and connectedness

The two properties that make theorems work: extreme values and intermediate values.

Compact (on the line: closed and bounded) guarantees a maximum is attained; connected guarantees the intermediate value theorem. Picture it: a closed interval versus an open one. The function 1/x has no maximum on (0, 1]. Think it: both are defined by open covers and separations, so they transfer to any space.

လုပ်ဆောင်ခဲ့သောဥပမာ · critical points of x^3 - 3x

Calculus · Extrema

Critical points of x^3 - 3x

x^{3} - 3 x

ခြေလှမ်းတစ်လှမ်း

  1. f(x) = x^{3} - 3 x

    Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.

  2. f'(x) = 3 x^{2} - 3

    Differentiate.

  3. x = -1, x = 1

    Solve f′(x) = 0.

  4. f''(x) = 6 x

    Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

  5. f''(-1) = -6 \Rightarrow (-1, 2) \text{ is a local maximum}

  6. f''(1) = 6 \Rightarrow (1, -2) \text{ is a local minimum}

အဖြေကို ဖော်ပြပါ
(-1, 2)\ \text{local maximum},\; (1, -2)\ \text{local minimum}

အခုတော့သင် ပြဿနာတစ်ခု Pick, သို့မဟုတ် type သို့မဟုတ်သင့်ကိုယ်ပိုင်ဆွဲ. အားလုံးအဆင့်, ဓာတ်ပုံ, သင်မေးသောအခါအထိအဖြေကိုပုန်း.

သင်၏ကိုယ်ပိုင်အလုပ်လုပ်ကိုင်ထား

တစ်ဦးအခမဲ့အကောင့်ကိုအားလုံးသင်ခန်းစာအပေါ်မှတ်စုများ adds, သင်ပြီးဆုံးခဲ့သည်ဘာ၏မှတ်တမ်း, တစ်နေရာတည်းတွင်သင်၏ဖြေရှင်းပြဿနာများကို, နှင့်သင်ဤစာမျက်နှာအကြောင်းကိုမေးနိုင်ပါတယ်ဆရာ. သင်္ချာကိုယ်လူတိုင်းအတွက်ဖွင့်, သို့မဟုတ်မဟုတ်ခဲ့.

မှတ်ပုံတင် ဝင်ရောက်မှု

ဒီနေရာမှာ သုံးစွဲတဲ့ သင်္ကေတများ

ပြည့်စုံသောအဓိပ္ပါယ်ဖွင့်ဆိုချက်အတွက်မည်သည့်အက္ခရာကိုမဆိုနှိပ်ပါ၊ ဓာတ်ပုံနှင့်၎င်းတွင်စာလုံးတိုင်းကိုဆိုလိုသည်ကို။

ဘယ်လို: Compactness and connectedness

  1. Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.
  2. Differentiate.
  3. Solve f′(x) = 0.
  4. Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

လူတွေမေးတဲ့မေးခွန်းတွေ

Why "a doughnut is a coffee cup"?

Each can be deformed into the other without cutting or gluing: one hole each. Topology studies exactly the properties such deformations preserve.

What is compactness for?

It is the property that makes "every sequence has a convergent subsequence" and "continuous functions attain their maximum" true. On the real line it means closed and bounded.

ပိုပြီး Topology

Metric spaces and open setsHomeomorphism and topological invariants