Topology

Open sets, continuity, compactness, connectedness: geometry without distance.

သင်ခန်းစာများ

Introductory Metric spaces and open sets Distance made abstract; open balls, open and closed sets, continuity. distance between (1,2) and (4,6) Core Compactness and connectedness The two properties that make theorems work: extreme values and intermediate values. critical points of x^3 - 3x Advanced Homeomorphism and topological invariants When two spaces are "the same", and what numbers survive stretching. 12 - 30 + 20

What survives when you are allowed to stretch but not tear. Topology makes "nearby" precise without a ruler, and its invariants (connected pieces, holes) are the coarsest and most robust things a space has.

ပိုမိုသော သင်ခန်းစာများ

Spaces

Topological space Open set Closed set Metric space Basis (topology)Neighbourhood (mathematics)Interior (topology)Closure (topology)Boundary (topology)Subspace topology Product topology Quotient space (topology)

Continuity and separation

Continuous function Homeomorphism Hausdorff space Separation axiom Regular space Normal space Urysohn's lemma Tietze extension theorem

Compactness and connectedness

Compact space Connected space Path (topology)Heine–Borel theorem Tychonoff's theorem Baire category theorem Sequential compactness Locally compact space

Where it leads

Manifold Euler characteristic Surface (topology)Klein bottle Möbius strip Torus Knot theory Fixed-point theorem

ဤသင်ခန်းစာအချို့ကို ပွင့်လင်းသော စာသားများမှ ကူးယူထားသည်။ Wikipedia. သင်ခန်းစာ စာမျက်နှာတိုင်းသည် ၎င်း၏ ရင်းမြစ်နှင့် လိုင်စင်ကို ခေါ်ဆိုသည်။

ဒီနေရာမှာ သုံးစွဲတဲ့ သင်္ကေတများ

ပြည့်စုံသောအဓိပ္ပါယ်ဖွင့်ဆိုချက်အတွက်မည်သည့်အက္ခရာကိုမဆိုနှိပ်ပါ၊ ဓာတ်ပုံနှင့်၎င်းတွင်စာလုံးတိုင်းကိုဆိုလိုသည်ကို။

လူတွေမေးတဲ့မေးခွန်းတွေ

Why "a doughnut is a coffee cup"?

Each can be deformed into the other without cutting or gluing: one hole each. Topology studies exactly the properties such deformations preserve.

What is compactness for?

It is the property that makes "every sequence has a convergent subsequence" and "continuous functions attain their maximum" true. On the real line it means closed and bounded.

သင့်ကိုယ်သင် ပြဿနာရှိပါသလား။
ဖြေရှင်းသူစာမျက်နှာပေါ်တွင်၎င်းကိုရိုက်ထည့်သို့မဟုတ်ဆွဲပါ။ ခြေလှမ်းတိုင်း၊ ပုံတစ်ပုံ၊ သင်မေးမည့်အချိန်အထိအဖြေကိုပုန်းကွယ်ထားသည်။ ဖြေရှင်းပါ →

အခြား branches

＋ Arithmetic 𝑥 Algebra △ Geometry ∿ Trigonometry ƒ Precalculus σ Statistics & Probability ⊢ Discrete Math & Logic ∫ Calculus ⊞ Linear Algebra ℕ Number Theory ẏ Differential Equations ∇ Multivariable Calculus ε Real Analysis ⋔ Combinatorics & Graph Theory ∈ Set Theory & Logic 𝔾 Abstract Algebra 𝑃 Probability Theory ≈ Numerical Methods ℂ Complex Analysis μ Measure Theory ‖·‖ Functional Analysis κ Differential Geometry π₁ Algebraic Topology → Category Theory ∂ Partial Differential Equations ≋ Fluid Dynamics ∞ Frontiers