maths.free › Topology › Compactness and connectedness

Compactness and connectedness

The two properties that make theorems work: extreme values and intermediate values.

Compact (on the line: closed and bounded) guarantees a maximum is attained; connected guarantees the intermediate value theorem. Picture it: a closed interval versus an open one. The function 1/x has no maximum on (0, 1]. Think it: both are defined by open covers and separations, so they transfer to any space.

Вработен пример · critical points of x^3 - 3x

Calculus · Extrema

Critical points of x^3 - 3x

x^{3} - 3 x

Чекор по чекор

  1. f(x) = x^{3} - 3 x

    Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.

  2. f'(x) = 3 x^{2} - 3

    Differentiate.

  3. x = -1, x = 1

    Solve f′(x) = 0.

  4. f''(x) = 6 x

    Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

  5. f''(-1) = -6 \Rightarrow (-1, 2) \text{ is a local maximum}

  6. f''(1) = 6 \Rightarrow (1, -2) \text{ is a local minimum}

Одкриј го одговорот
(-1, 2)\ \text{local maximum},\; (1, -2)\ \text{local minimum}

Сега ти. Секој чекор, слика, одговорот е скриен додека не прашаш.

Задржи си ја работата.

Бесплатна сметка додава белешки за секоја лекција, запис за она што сте го завршиле, вашите решени проблеми на едно место, и тутор кој може да го прашате за оваа страница. Самата математика е отворена за сите, потпишана или не.

Потпиши се Најава

Симболи кои се користат тука

Допрете било кој симбол за целосната дефиниција, слика, и што значи секоја буква во неа.

Како да го направиш тоа?: Compactness and connectedness

  1. Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.
  2. Differentiate.
  3. Solve f′(x) = 0.
  4. Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

Прашања што луѓето ги поставуваат

Why "a doughnut is a coffee cup"?

Each can be deformed into the other without cutting or gluing: one hole each. Topology studies exactly the properties such deformations preserve.

What is compactness for?

It is the property that makes "every sequence has a convergent subsequence" and "continuous functions attain their maximum" true. On the real line it means closed and bounded.

Повеќе во Topology

Metric spaces and open setsHomeomorphism and topological invariants