maths.free › Topology › Compactness and connectedness

Compactness and connectedness

The two properties that make theorems work: extreme values and intermediate values.

Compact (on the line: closed and bounded) guarantees a maximum is attained; connected guarantees the intermediate value theorem. Picture it: a closed interval versus an open one. The function 1/x has no maximum on (0, 1]. Think it: both are defined by open covers and separations, so they transfer to any space.

İşlənmiş nümunə · critical points of x^3 - 3x

Calculus · Extrema

Critical points of x^3 - 3x

x^{3} - 3 x

Addım-addım

  1. f(x) = x^{3} - 3 x

    Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.

  2. f'(x) = 3 x^{2} - 3

    Differentiate.

  3. x = -1, x = 1

    Solve f′(x) = 0.

  4. f''(x) = 6 x

    Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

  5. f''(-1) = -6 \Rightarrow (-1, 2) \text{ is a local maximum}

  6. f''(1) = 6 \Rightarrow (1, -2) \text{ is a local minimum}

Cavabı göstər
(-1, 2)\ \text{local maximum},\; (1, -2)\ \text{local minimum}

İndi siz Problem seçin, ya da özünü yazın ya da çəkin. Hər addım, bir rəsm, cavab siz soruşana qədər gizli qalır.

Özün işlə

Pulsuz hesab hər dərsdə qeydlər əlavə edir, bitirdiyiniz işlərin qeydini saxlayır, həll etdiyiniz problemləri bir yerdə saxlayır və bu səhifə haqqında soruşa biləcəyiniz müəllimi də əlavə edir. Riyaziyyat özü daxil olub-olmadığınıza baxmayaraq hər kəsə açıqdır.

Qeyd Et Giriş

Burada istifadə edilən simvollar

Tam təsviri, şəkli və hər hərfin nə demək olduğunu görmək üçün hər hansı simvolu vurun.

Növbəti: Compactness and connectedness

  1. Critical points are where f′(x) = 0 or is undefined.
  2. Differentiate.
  3. Solve f′(x) = 0.
  4. Second-derivative test: f″ < 0 → maximum, f″ > 0 → minimum.

İnsanlar soruşurlar

Why "a doughnut is a coffee cup"?

Each can be deformed into the other without cutting or gluing: one hole each. Topology studies exactly the properties such deformations preserve.

What is compactness for?

It is the property that makes "every sequence has a convergent subsequence" and "continuous functions attain their maximum" true. On the real line it means closed and bounded.

Daha çox Topology

Metric spaces and open setsHomeomorphism and topological invariants