maths.free › Set Theory & Logic › Logic and methods of proof

Logic and methods of proof

Connectives, quantifiers, direct proof, contrapositive, contradiction, induction.

A proof is a chain of statements each following from earlier ones by a rule of inference. Direct proof assumes the hypothesis and derives the conclusion; contrapositive proves ¬Q → ¬P instead; contradiction assumes ¬Q and finds an absurdity; induction climbs the integers. Picture it: the truth table below, p → q and ¬p ∨ q agree in every row, which is the contrapositive method justified. Think it: Gödel showed any consistent system rich enough for arithmetic has true statements it cannot prove.

Toimiva esimerkki · truth table of (p implies q) iff (not p or q)

Discrete-Math · Propositional-Logic

Truth table of (p implies q) iff (not p or q)

Askel kerrallaan

  1. \left(p \Rightarrow q\right) \Leftrightarrow \left(q \vee \neg p\right)

    2 variable(s) → 4 rows. Fill in every combination.

  2. \

    A tautology (always true).

Paljasta vastaus
\left(p \Rightarrow q\right) \Leftrightarrow \left(q \vee \neg p\right)

Nyt sinä Valitse ongelma tai kirjoita tai piirrä omasi. Jokainen vaihe, kuva ja vastaus piilotettuna, kunnes kysyt.

Pidä oma työsi

Vapaa tili lisää muistiinpanoja jokaiseen oppituntiin, muistiinpanoja siitä, mitä olet saanut päätökseen, ratkaistuja ongelmiasi yhdessä paikassa ja ohjaajaa, jolta voit kysyä tästä sivusta. Matematiikka on kaikille avoin, kirjautunut tai ei.

Rekisteröidy Kirjautuminen

Symbolit, joita käytetään täällä

Napauta symbolia koko määrittelyn, kuvan ja sen jokaisen kirjaimen osalta.

Miten: Logic and methods of proof

  1. Write the statement as "if P then Q" with P and Q precise.
  2. Choose a method: direct (assume P), contrapositive (assume not Q), contradiction (assume P and not Q), or induction (for all n).
  3. Each line must cite a definition, an axiom or a previous line.
  4. End when Q appears; mark it ∎.

Kysymyksiä

Are some infinities bigger than others?

Yes. The integers and the rationals can be listed; the real numbers cannot (Cantor's diagonal argument), so there are strictly more reals than integers.

What is the difference between a relation and a function?

A relation pairs inputs with outputs freely; a function is a relation in which every input gets exactly one output.

Lisää Set Theory & Logic

Sets and operationsRelations, functions and equivalenceCardinality and infinity