maths.free › Multivariable Calculus › Optimisation in several variables

Optimisation in several variables

Critical points, the second-derivative test, and Lagrange multipliers.

Critical points are where the gradient vanishes; the Hessian's determinant sorts them into minima, maxima and saddles. With a constraint, Lagrange multipliers say the gradients of f and of the constraint are parallel at the optimum. Picture it: the surface's bowl bottom, hilltop or saddle. The 3D view shows which. Think it: constrained optimisation is the geometry of tangency between level sets.

Օրինակ · gradient of x^2 + y^2 - 2x - 4y

Multivariable-Calculus · Partial-Derivatives

Gradient of x^2 - 2x + y^2 - 4y

x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y

Քայլ առ քայլ

  1. f(x, y) = x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y

    The gradient is the vector of partial derivatives. Differentiate with respect to each variable, holding the others constant.

  2. \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 2

    Treat every variable except x as a constant.

  3. \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 4

    Treat every variable except y as a constant.

  4. \nabla f = \left[\begin{matrix}2 x - 2\\2 y - 4\end{matrix}\right]

    Assemble the gradient vector. It points in the direction of steepest ascent.

  5. (1, 2)

    Critical points: where every partial derivative is zero.

Առաջարկել պատասխանը
\nabla f = \left[\begin{matrix}2 x - 2\\2 y - 4\end{matrix}\right]

Now you Ընտրեք խնդիր, կամ տեքստ գրեք կամ նկարեք ձեր սեփականը։ Յուրաքանչյուր քայլ, նկար, պատասխանը թաքնված է մինչև դուք հարցնեք։

Ձեր սեփական աշխատանքը շարունակեք

Ազատ հաշիվը յուրաքանչյուր դասավանդման համար գրառումներ է ավելացնում, Ձեր ավարտելիք դասերի և լուծված խնդիրների ցուցակ է պահում մեկ տեղում, և ուսուցիչ, ում կարող եք հարցնել այս էջի մասին։ Մաթեմատիկան բաց է բոլորի համար, անկախ նրանից մուտքագրվել եք արդյոք կամ ոչ։

Գրանցվել Գրանցում

Օգտագործված սիմվոլներ

Տեղադրեք ցանկացած նշան՝ ամբողջական սահմանման, նկարի և դրա մեջ ամեն մի տառի իմաստը տեսնելու համար։

Ինչպես: Optimisation in several variables

  1. The gradient is the vector of partial derivatives. Differentiate with respect to each variable, holding the others constant.
  2. Treat every variable except x as a constant.
  3. Treat every variable except y as a constant.
  4. Assemble the gradient vector. It points in the direction of steepest ascent.
  5. Critical points: where every partial derivative is zero.

Հարցեր, որոնք մարդիկ տալիս են :

What is a partial derivative?

The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.

What does the gradient point at?

Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.

Ցուցադրել Multivariable Calculus

Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientDouble and triple integralsVector fields, line integrals and the big theorems