maths.free › Multivariable Calculus › Double and triple integrals

Double and triple integrals

Volume under a surface by iterated integration; changing the order and the coordinates.

∫∫ f dA sums f over a region by integrating one variable at a time (Fubini). Polar coordinates turn circles into rectangles and give the famous ∫e^{−x²} = √π. Picture it: the volume under the surface z = f(x, y) over the region. Think it: the Jacobian is the local scaling factor (the determinant of the derivative), which is why r appears in polar integrals.

Робочий приклад · integrate x^2 dx from 0 to 1

Calculus · Definite-Integrals

Integrate x^2 from 0 to 1

\int_{0}^{1} x^{2}\, dx

Крок за кроком

  1. \int_{0}^{1} x^{2}\, dx

    First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).

  2. \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

    Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).

  3. F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(0\right)

    Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.

  4. = \frac{1}{3}

    Simplify.

Показати відповідь
\frac{1}{3}

Тепер ти Виберіть проблему або наберіть її на зразок. Кожен крок, малюнок, відповідь, сховану до того часу, доки ви не запитаєте.

Нехай ваша робота буде такою ж, як у вас

Вільний рахунок додає нотатки до кожного уроку, запису того, що ви завершили, ваших розв' язаних проблем у одному місці, і репетитора, який ви можете запитати про цю сторінку. Сама математика відкрита для всіх, підписані чи ні.

Підписування Вхід

Символи, що тут використовуються

Взяти будь-який символ до повного визначення, зображення і що означає кожна літера.

Як це зробити?: Double and triple integrals

  1. First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
  2. Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
  3. Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
  4. Simplify.

Запитання людей

What is a partial derivative?

The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.

What does the gradient point at?

Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.

Більше в Multivariable Calculus

Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientOptimisation in several variablesVector fields, line integrals and the big theorems