maths.free › Multivariable Calculus › Double and triple integrals

Double and triple integrals

Volume under a surface by iterated integration; changing the order and the coordinates.

∫∫ f dA sums f over a region by integrating one variable at a time (Fubini). Polar coordinates turn circles into rectangles and give the famous ∫e^{−x²} = √π. Picture it: the volume under the surface z = f(x, y) over the region. Think it: the Jacobian is the local scaling factor (the determinant of the derivative), which is why r appears in polar integrals.

İşlənmiş nümunə · integrate x^2 dx from 0 to 1

Calculus · Definite-Integrals

Integrate x^2 from 0 to 1

\int_{0}^{1} x^{2}\, dx

Addım-addım

  1. \int_{0}^{1} x^{2}\, dx

    First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).

  2. \int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

    Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).

  3. F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(0\right)

    Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.

  4. = \frac{1}{3}

    Simplify.

Cavabı göstər
\frac{1}{3}

İndi siz Problem seçin, ya da özünü yazın ya da çəkin. Hər addım, bir rəsm, cavab siz soruşana qədər gizli qalır.

Özün işlə

Pulsuz hesab hər dərsdə qeydlər əlavə edir, bitirdiyiniz işlərin qeydini saxlayır, həll etdiyiniz problemləri bir yerdə saxlayır və bu səhifə haqqında soruşa biləcəyiniz müəllimi də əlavə edir. Riyaziyyat özü daxil olub-olmadığınıza baxmayaraq hər kəsə açıqdır.

Qeyd Et Giriş

Burada istifadə edilən simvollar

Tam təsviri, şəkli və hər hərfin nə demək olduğunu görmək üçün hər hansı simvolu vurun.

Növbəti: Double and triple integrals

  1. First find an antiderivative F, then evaluate F(b) − F(a).
  2. Power rule: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) (n ≠ −1).
  3. Fundamental theorem of calculus: plug in the limits.
  4. Simplify.

İnsanlar soruşurlar

What is a partial derivative?

The ordinary derivative with respect to one variable while every other variable is frozen: the slope of the surface in one coordinate direction.

What does the gradient point at?

Uphill: the direction of steepest increase, with length equal to that steepest slope. It is perpendicular to the level curves.

Daha çox Multivariable Calculus

Functions of several variablesPartial derivatives and the gradientOptimisation in several variablesVector fields, line integrals and the big theorems