maths.free › Linear Algebra › Orthogonality, projections and least squares
Orthogonality, projections and least squares
Dot products, orthonormal bases, projection onto a subspace, fitting a line.
The projection of b onto the column space of A is the closest point; the least-squares solution solves AᵀA x = Aᵀ b. Gram-Schmidt turns any basis orthonormal. Picture it: dropping a perpendicular from a point onto a plane. Think it: least squares is regression; the normal equations are calculus's "set the gradient to zero" done with matrices.
പ്രവര്‍ത്തിപ്പിച്ച ഉദാഹരണം · inverse of [[2,1],[1,1]]
Inverse of [[2,1],[1,1]]
പടിയിലൂടെ
- \det A = 1
A matrix is invertible only when its determinant is non-zero.
- A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{1}\left[\begin{matrix}1 & -1\\-1 & 2\end{matrix}\right]
For 2×2: swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by the determinant.
- A^{-1} = \left[\begin{matrix}1 & -1\\-1 & 2\end{matrix}\right]
ഉത്തരം വെളിപ്പെടുത്തുക
ഇപ്പോള്‍ നീ ഓരോ പടിയും ഒരു ചിത്രം ചോദിക്കുന്നതുവരെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഉത്തരം ഒളിപ്പിച്ചുവെക്കുക.
ഒരു സ്വതന്ത്ര അക്കൗണ്ട്, നിങ്ങൾ പഠിച്ച കാര്യങ്ങൾ, നിങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങൾ, ഒരു സ്ഥലത്ത്‌ ഒരു ടീച്ചർ, ഈ പേജിനെ കുറിച്ച് ചോദിക്കാവുന്നതാണ്‌.
മുകളില്‍ ഒപ്പ് വയ്ക്കുക ലോഗിന്ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന ചിഹ്നങ്ങള്‍
ഒരു പ്രത്യേക പത്രികയിൽ, ഒരു ചിത്രത്തിന്‍റെ പ്രതീകം, അതിലുള്ള എല്ലാ അക്ഷരങ്ങൾ എന്നിവയ്‌ക്കും വേണ്ടിയുള്ളതാണ്‌.
എങ്ങനെ: Orthogonality, projections and least squares
- A matrix is invertible only when its determinant is non-zero.
- For 2×2: swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by the determinant.
ആളുകൾ ചോദിക്കുന്നു
What does a determinant mean geometrically?
It is the factor by which the matrix scales area (2×2) or volume (3×3), with a negative sign if orientation flips. Zero means the matrix flattens space and cannot be undone.
What is an eigenvector?
A direction the matrix does not turn: it only stretches it by the eigenvalue. Along eigenvectors a complicated matrix acts like multiplication by a number.
Why is matrix multiplication not commutative?
Because a matrix is a transformation and AB means "do B, then A". Rotating then reflecting is not the same as reflecting then rotating.
കൂടുതല്‍ Linear Algebra
DeterminantsMatrix inverseEigenvalues and eigenvectorsMatrix multiplicationRow reductionVector spaces, span and linear independenceDiagonalisation and matrix powersLinear transformations and change of basis