maths.free › Linear Algebra › Matrix inverse

Matrix inverse

The 2×2 formula and Gauss-Jordan elimination for the rest.

A⁻¹ is the matrix that undoes A. For 2×2 there is a formula; for anything bigger, row-reduce [A | I] until A becomes I, and the identity becomes A⁻¹. Every row operation is shown.

Робочий приклад · inverse of [[1,2],[3,4]]

Linear-Algebra · Matrix-Inverse

Inverse of [[1,2],[3,4]]

\left[\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\end{matrix}\right]

Крок за кроком

  1. \det A = -2

    A matrix is invertible only when its determinant is non-zero.

  2. A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-2}\left[\begin{matrix}4 & -2\\-3 & 1\end{matrix}\right]

    For 2×2: swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by the determinant.

  3. A^{-1} = \left[\begin{matrix}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right]

Показати відповідь
A^{-1} = \left[\begin{matrix}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right]

Тепер ти Виберіть проблему або наберіть її на зразок. Кожен крок, малюнок, відповідь, сховану до того часу, доки ви не запитаєте.

Нехай ваша робота буде такою ж, як у вас

Вільний рахунок додає нотатки до кожного уроку, запису того, що ви завершили, ваших розв' язаних проблем у одному місці, і репетитора, який ви можете запитати про цю сторінку. Сама математика відкрита для всіх, підписані чи ні.

Підписування Вхід

Символи, що тут використовуються

Взяти будь-який символ до повного визначення, зображення і що означає кожна літера.

Як це зробити?: Matrix inverse

  1. A matrix is invertible only when its determinant is non-zero.
  2. For 2×2: swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by the determinant.

Запитання людей

What does a determinant mean geometrically?

It is the factor by which the matrix scales area (2×2) or volume (3×3), with a negative sign if orientation flips. Zero means the matrix flattens space and cannot be undone.

What is an eigenvector?

A direction the matrix does not turn: it only stretches it by the eigenvalue. Along eigenvectors a complicated matrix acts like multiplication by a number.

Why is matrix multiplication not commutative?

Because a matrix is a transformation and AB means "do B, then A". Rotating then reflecting is not the same as reflecting then rotating.

Більше в Linear Algebra

DeterminantsEigenvalues and eigenvectorsMatrix multiplicationRow reductionVector spaces, span and linear independenceOrthogonality, projections and least squaresDiagonalisation and matrix powersLinear transformations and change of basis